Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Tính

a) \(\dfrac{10^{2+\sqrt 7}}{2^{2+\sqrt 7}.5^{1+\sqrt 7}}\)

b) \((4^{2\sqrt 3}-4^{\sqrt 3-1}).2^{-2\sqrt 3}\)

Phương pháp giải

Áp dụng:

 \((a.b)^m=a^m.b^m\\ \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\,\,\,\,(a\ne 0)\\ (a+b).c=ac+bc\)

Hướng dẫn giải

Tính

a) \(\dfrac{10^{2+\sqrt 7}}{2^{2+\sqrt 7}.5^{1+\sqrt 7}}\)

b) \((4^{2\sqrt 3}-4^{\sqrt 3-1}).2^{-2\sqrt 3}\)

Phương pháp giải

Áp dụng:

\(a^{-m}=\dfrac 1 {a^m}\,\,\,(a\ne 0;\,m>0)\\ {(a^m)}^{n}=a^{m.n}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(27^{\frac 2 3}-(-2)^{-2}+\left(3\dfrac 3 8\right)^{-\frac 1 3}\\ \begin{align} & ={{\left( {{3}^{3}} \right)}^{\frac{2}{3}}}-\frac{1}{{{\left( -2 \right)}^{2}}}+{{\left( \frac{27}{8} \right)}^{-\frac{1}{3}}} \\ & ={{3}^{3.\frac{2}{3}}}-\frac{1}{4}+{{\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{3}} \right]}^{-\frac{1}{3}}}={{3}^{2}}-\frac{1}{4}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-1}} \\ & =9-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{113}{12} \\ \end{align} \)

b)

\((-0,5)^{-4}-625^{0,25}-\left(2\dfrac 1 4\right)^{-1\frac 1 2}\\ \begin{align} & ={{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{-4}}-{{\left( {{5}^{4}} \right)}^{\frac{1}{4}}}-{{\left( \frac{9}{4} \right)}^{-\frac{3}{2}}} \\ & ={{\left( -2 \right)}^{4}}-{{5}^{4.\frac{1}{4}}}-{{\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \right]}^{-\frac{3}{2}}} \\ & =16-5-{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-3}} \\ & =11-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=11-\frac{8}{27}=\frac{289}{27} \\ \end{align} \)

Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

\(\begin{align} & a)\,\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}\left( {{a}^{-\frac{1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{4}}}\left( {{a}^{\frac{3}{4}}}+{{a}^{-\frac{1}{4}}} \right)}; \\ & b)\,\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}; \\ & c)\,\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \right)\left( {{a}^{\frac{2}{3}}}+{{b}^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{ab} \right); \\ & d)\,\left( {{a}^{\frac{1}{3}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}} \right):\left( 2+\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}} \right) \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

a), b) Sử dụng các công thức về tính chất của lũy thừa.

c) Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\)

d) Quy đồng mẫu thức tổng trong ngoặc và rút gọn biểu thức.

Hướng dẫn giải

\(\begin{align} &a)\,\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}\left( {{a}^{-\frac{1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{4}}}\left( {{a}^{\frac{3}{4}}}+{{a}^{-\frac{1}{4}}} \right)} \\ & =\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}.{{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{4}{3}}}.{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{a}^{\frac{1}{4}}}.{{a}^{\frac{3}{4}}}+{{a}^{\frac{1}{4}}}.{{a}^{\frac{-1}{4}}}} \\ & =\frac{{{a}^{\frac{4}{3}+\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}}}{{{a}^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}+{{a}^{\frac{1}{4}+\frac{-1}{4}}}} \\ & =\frac{a+{{a}^{2}}}{a+1} \\ & =\frac{a\left( 1+a \right)}{1+a}=a \\ \end{align}\)
\(b)\,\dfrac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}\\ =\dfrac{{{a}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}.{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\\ =\dfrac{{{a}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}\left( {{b}^{\frac{1}{6}}}+{{a}^{\frac{1}{6}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\\ ={{a}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{ab} \)

\(c)\,\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \right)\left( {{a}^{\frac{2}{3}}}+{{b}^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{ab} \right)\\ \begin{align} & =\left( {{a}^{\frac{1}{3}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}} \right)\left[ {{\left( {{a}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}-{{a}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}-{{\left( {{b}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}} \right] \\ & ={{\left( {{a}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{3}}+{{\left( {{b}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{3}}=a+b \\ \end{align} \)
\(d)\,\left( {{a}^{\frac{1}{3}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}} \right):\left( 2+\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}} \right)\\ \begin{align} & =\dfrac{{{a}^{\frac{1}{3}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}}{\dfrac{2{{a}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}}+{{b}^{\frac{2}{3}}}}{{{a}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}}} \\ & =\frac{\sqrt[3]{ab}\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \right)}{{{\left( \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} \right)}^{2}}} \\ & =\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} \\ \end{align}\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau :

A. \(2^{-2}<1\)

B. \((0,013)^{-1}>75\)

C. \(\left(\dfrac{\pi} 4\right)^{\sqrt 5 -2}>1\)

D. \(\left(\dfrac 1 3 \right)^{\sqrt 8 -3}<3\)

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất so sánh lũy thừa:

+ Nếu a > 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta\)

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta\)

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac 1 4 <1\) - A đúng

\(\left(0,013\right)^{-1}=\left(\dfrac{13}{1000}\right)^{-1}=\dfrac{1000}{13}>75\) - B đúng

Vì \(\dfrac{\pi} 4 < 1\) và \(\sqrt 5 -2 > 0\) nên \(\left(\dfrac{\pi} 4\right)^{\sqrt 5 -2}<1\) - C sai

\(\sqrt 8 - 3=2\sqrt 2 -3 > -1\\ \Rightarrow \left(\dfrac 1 3 \right)^{\sqrt 8 -3} < \left(\dfrac 1 3 \right)^{-1}=3\)  - D đúng

Chọn C.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. \(\sqrt {17} <\sqrt[3]{28}\)

B. \(\sqrt[4]{13}>\sqrt[5]{23}\)

C. \(\left(\dfrac 1 3\right)^{\sqrt 3}>\left(\dfrac 1 3\right)^{\sqrt 2}\)

D. \(4^{\sqrt 5}>4^{\sqrt 7}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất so sánh lũy thừa:

+ Nếu a > 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta\)

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính ta có:

\(\sqrt{17}\approx 4,123\\ \sqrt[3]{28}\approx 3,036 \)

A - Sai

\(\sqrt[4]{13}\approx 1,899\\ \sqrt[5]{23}\approx 1,872 \)

B - Đúng

\(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow \left(\dfrac 1 3\right)^{\sqrt 3}< \left(\dfrac 1 3\right)^{\sqrt 2}\)

C - sai

\(\sqrt 5 < \sqrt 7 \Rightarrow 4^{\sqrt 5}<4^{\sqrt 7}\)

D - sai

Chọn B