Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Số phức, biểu diễn hình học số phức

Tìm các số thực \(x, y\) thỏa mãn:

\(a) 2x+1+(1-2y)i=2-x+(3y-2)i\\ b) 4x+3+(3y-2)i=y+1+(x-3)i\\ c) x+2y+(2x-y)i=2x+y+(x+2y)i\)

Phương pháp giải

 \(a+bi=a'+b'i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=a' \\ & b=b' \\ \end{aligned} \right. \)

Hướng dẫn giải

a)
\(\left\{ \begin{aligned} & 2x+1=2-x \\ & 1-2y=3y-2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{1}{3} \\ & y=\dfrac{3}{5} \\ \end{aligned} \right.\)
b)
\(\left\{ \begin{aligned} & 4x+3=y+1 \\ & 3y-2=x-3 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 4x-y=-2 \\ & x-3y=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-\dfrac{7}{11} \\ & y=-\dfrac{6}{11} \\ \end{aligned} \right. \)
c)
\(\left\{ \begin{aligned} & x+2y=2x+y \\ & 2x-y=x+2y \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-y \\ & x=y \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=0 \)

Cho hai số phức \( \alpha =a+bi,\,\beta =c+di \). Hãy tìm điều kiện của \(a, b, c, d\) để các điểm biểu diễn \(\alpha\)  và \(\beta\) trên mặt phẳng tọa độ :
a) Đối xứng với nhau qua trục \(Ox\)

b) Đối xứng với nhau qua trục \(Oy\)

c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba

d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải

Hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox nếu x = x', y =  - y'

Hai điểm đối xứng với nhau qua trục Oy nếu x =  - x', y = y'

Hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x nếu x = y', y = x'

Hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O nếu x =  - x', y =  - y'

Hướng dẫn giải

Điểm biểu diễn số phức \(\alpha =a+bi\) là \(\left( a;b \right) \)

Điểm biểu diễn số phức \(\beta =c+di\) là \(\left( c;d \right) \)

a) Hai điểm đối xứng với nhau qua \(Ox\) nếu:

\(\left\{ \begin{aligned} & a=c \\ & b=-d \\ \end{aligned} \right. \)

b) Hai điểm đối xứng với nhau qua \(Oy\) nếu: 

\(\left\{ \begin{aligned} & a=-c \\ & b=d \\ \end{aligned} \right. \)

c) Đường phân giác góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba là \(y=x\)

Để hai điểm biểu diễn đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=x\) là: 

\(\left\{ \begin{aligned} & a=d \\ & b=c \\ \end{aligned} \right.\)

d) Đối xứng nhau qua gốc tọa độ nếu :

\(\left\{ \begin{aligned} & a=-c \\ & b=-d \\ \end{aligned} \right. \)

Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của \(z\) bằng phần ảo của nó
b) Phần thực của \(z\) là số đối của phần ảo của nó
c) Phần ảo của \(z\) bằng hai lần phần thực của nó cộng với 1
d) Modun của \(z\) bằng 1, phần thực của \(z\) không âm.

Phương pháp giải

Đặt z = x + yi, tìm mối quan hệ x, y và suy ra đáp số.

Hướng dẫn giải

Gọi số phức \(z\) là \(x+yi\) trong đó \(x,y\in \mathbb{R} \)

a) Phần thực bằng phần ảo : \(x=y \)

Tập hợp số phức là đường phân giác góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba.

b) Phần thực là số đối của phần ảo : \(x=-y \)

Tập hợp số phức là đường phân giác góc phần tư thứ hai và góc phần tư thứ tư.

c) Phần ảo bằng hai lần phần thực của nó cộng với 1 : \(y=2x+1.\)

Tập hợp số phức là đường thẳng \(y=2x+1\)

d) Môđun của nó là 1, phần thực của z không âm: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1,\,\,\,\left( x>0 \right) \)

Tập hợp số phức là nửa đường tròn tâm O bán kính bằng 1, nằm bên phải trục Oy

ố phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 4.2 và hình 4.3?

Phương pháp giải

Quan sát hình vẽ và nhận xét phần thực và phần ảo của số phức z.

Hướng dẫn giải

Gọi số phức là: \(z=x+yi ,\,\,\,x,y\in \mathbb R\)

Hình 4.2.

\(\left\{ \begin{aligned} & -3< x<-2 \\ & 1< y<3 \\ \end{aligned} \right. \)

Hình 4.3.

\(1\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 2,\,\,y\le -\dfrac{1}{2}\,\, \)

Hãy biểu diễn các số phức  \(z\) trên mặt phẳng tọa độ, biết \( |z| ≤ 2\) và:

a) Phần thực của \(z\) không vượt quá phần ảo của nó

b) Phần ảo của \(z\) lớn hơn 1

c) Phần ảo của \(z\) nhỏ hơn 1, phần thực của \(z\) lớn hơn 1.

Phương pháp giải

Dựng đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) và suy ra phần mặt phẳng biểu diễn các số phức theo yêu cầu.

Hướng dẫn giải

Cho \(z\in \mathbb{C}\). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu \(z\in \mathbb{R}\)  thì \(z=\overline{z} \)

B. Nếu \(z=\overline{z} \) thì \(z\in \mathbb{R}\)

C. Nếu \(z\in \mathbb{R}\) thì \(z=\left| z \right|\)

D. Nếu \(z=\left| z \right|\) thì \(z\in \mathbb{R}\)

Phương pháp giải

Số phức z là số thực nếu phần ảo của nó bằng 0

Hướng dẫn giải

Gọi số phức \(z=a+bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \)

A. Vì \( z\in \mathbb{R}\Rightarrow b=0 \)nên  \(z=\overline{z}\). A đúng

B. \(z=a+bi,\,\overline{z}=a-bi \)
Nếu \(z=\overline{z}\Rightarrow a+bi=a-bi\Leftrightarrow b=0 \)hay  \(z\in \mathbb{R}\). B đúng

C. \(z\in \mathbb{R}\Rightarrow z=a\Leftrightarrow \left| z \right|=\left| a \right|\ne z\). C sai

D. \(z=\left| z \right|\Leftrightarrow a+bi=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow b=0\Rightarrow z\in \mathbb{R}\). D đúng

Chọn C.

Cho \(z\in \mathbb{C}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu \(z\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\) thì \(z\) là một số thuần ảo.

B. Nếu \(z\) là một số thuần ảo thì \(z\in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}\)

C. Nếu \(z\) là một số thuần ảo thì \(z=\left| z \right|\)

D. Nếu \(z\) là một số thuần ảo thì \(z=\overline{z}\)

Phương pháp giải

Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng định nghĩa số thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án A sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp z = a + bi với \(a \ne 0,b \ne 0\)

Đáp án C sai vì nếu z = i thì \(i \ne \left| i \right| = 1\)

Đáp án D sai vì nếu z là số thuần ảo thì z = bi nên \(\overline z = - bi \ne z\)

Trong các đáp án đã cho thì có đáp án B là chính xác hơn.

Chọn B.