Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Hãy so sánh mỗi số sau với 1:

\(a)\,(0,1)^\sqrt 2;\\ b)\,(3,5)^{0,1}\\ c)\,\pi^{-2,7}\\ d) \left(\dfrac{\sqrt 5} 5 \right)^{-1,2}\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính biến thiên của hàm số mũ: \(y=a^x\)

Khi \(a>1\) hàm số luôn đồng biến

Khi \(0< a< 1\) hàm số luôn nghịch biến

Hướng dẫn giải

a) \(0<0,1<1\Rightarrow (0,1)^{\sqrt 2}<1\)

b) \(3,5> 1\Rightarrow 3,5^{0,1}>1\)

c) \(\pi> 1\Rightarrow \dfrac 1 \pi < 1\Rightarrow \pi^{-2,7}=\left(\dfrac 1 \pi\right)^{2,7}<1\)

d) \(\left(\dfrac {\sqrt 5} 5 \right)^{-1,2}=\left(\dfrac 5 {\sqrt 5}\right)^{1,2}=(\sqrt 5) ^{1,2}>1\)

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của mỗi cặp hàm số sau 
a) \(y=2^x\) và \(y=8\)
b) \(y=3^x\) và \(y=\dfrac 1 3\)
c) \(y={{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{x}} \) và \(y=\dfrac 1 {16}\)

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(a^x=a^y\Rightarrow x=y\)

Hướng dẫn giải

a)

\(2^x=8=2^3\Rightarrow x=3\)

Tọa độ giao điểm \((3;8)\)

b)

\(3^x=\dfrac 1 3=3^{-1}\Rightarrow x=-1\)

Tọa độ giao điểm \(\left(-1;\dfrac 1 3\right)\)

c)

\(\left(\dfrac 1 4\right)^x=\dfrac{1} {16}=\left(\dfrac 1 4\right)^2\Rightarrow x=2\)

Tọa độ giao điểm \(\left(2;\dfrac 1 {16}\right)\)

d)

\(\left(\dfrac 1 3\right)^x=9\Rightarrow3^{-x}=3^2\Rightarrow x=-2\)

Tọa độ giao điểm \((-2;9)\)

Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi cặp số sau :
a) \((1,7)^3\) và 1
b) \((0,3)^2\) và 1
c) \((3,2)^{1,5}\) và \((3,2)^{1,6}\)
d) \((0,2)^{-3}\) và \((0,2)^{-2}\)
e) \({{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{\sqrt{2}}}\) và \({{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{1,4}} \)
f) \({{6}^{\pi }}\) và \({{6}^{3,14}} \)

Phương pháp giải

Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số mũ: \(y=a^x \)

Khi \(a> 1\) hàm số luôn đồng biến

Khi \(0< a< 1\) hàm số luôn nghịch biến

Tức là:

Khi \(a > 1\) thì với \(0< x_1< x_2 \Rightarrow a^{x_1}< x^{x_2}\)

Khi \(0< a< 1\) thì với \(0< x_1< x_2 \Rightarrow a^{x_1}>x^{x_2}\)

Hướng dẫn giải

a)

Vì \(1,7>1\Rightarrow (1,7)^3>1\)

b)

Vì \(0,3 < 1\Rightarrow (0,3)^2<1\) 

c)

Vì \(3,2>1\Rightarrow (3,2)^{1,5}<(3,2)^{1,6}\)

d)

\((0,2)^{-3}=5^3;\,\,\,(0,2)^{-2}=5^2\Rightarrow (0,2)^{-3}>(0,2)^{-2}\)

e)

Vì \(\dfrac 1 5 < 1;\,\,\sqrt 2 > 1,4\Rightarrow \left(\dfrac 1 5 \right)^{\sqrt 2} < \left(\dfrac 1 5 \right)^{1,4}\)

f)

\(\pi>3,14\Rightarrow 6^\pi>6^{3,14}\)

Từ đồ thị hàm số \(y=3^x\), hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y=3^x-2\)
b) \( y=3^x+2\)
c) \(y=|3^x-2| \)
d) \(y=2-3^x\)

Phương pháp giải

a), b) Tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = {3^x}\) lên trên hoặc xuống dưới 2 đơn vị.

c) Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có được từ đồ thị hàm số y = f( x ) bằng cách:

+ Giữ nghuyên phần đồ thị hàm số y = f( x ) phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần dưới qua trục hoành và xóa phần dưới cũ đi.

c) Đồ thị hàm số y =  - f( x ) có được từ đồ thị hàm số y = f( x ) bằng cách lấy đối xứng toàn bộ đồ thị hàm số y=f(x) qua trục hoành.

Hướng dẫn giải

a)

\(y=3^x-2=f(x)-2\)

Đồ thị hàm số \(y=3^x-2\) nhận được từ đồ thị hàm số \(f(x)\) bằng phép tịnh tiến song song với trục Oy xuống dưới 2 đơn vị.

b)

\(y=3^x+2=f(x)+2\)

Đồ thị hàm số \(y=3^x+2\) nhận được từ đồ thị hàm số \(f(x)\) bằng phép tịnh tiến song song với trục Oy lên trên 2 đơn vị.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y=2^{|x|}\) trên đoạn \([-1;1]\)

Phương pháp giải

- Viết hàm số \(y = {2^{\left| x \right|}}\) dưới dạng khoảng.

- Xét từng hàm số có được trên các khoảng thích hợp.

- Tìm GTLN, GTNN và kết luận.

Hướng dẫn giải

Ta có
\({{2}^{|x|}}=\left\{ \begin{align} & {{2}^{-x}}\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,\,x\,\in [-1;0]\\ & {{2}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,x\in [0;1] \\ \end{align} \right. \)
Trên đoạn \([-1;0]\), hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là \({{2}^{-\left( -1 \right)}}={{2}^{1}}=2 \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \({{2}^{0}}=1 \)
Trên đoạn \([0;1]\), hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là \({{2}^{1}}=2\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \({{2}^{0}}=1 \)
Vậy \(\underset{[-1;1]}{\mathop{Max}}\,y=2;\,\underset{[-1;1]}{\mathop{Min}}\,y=1 \)

Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(\begin{align} & a)y={{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}-3x-4 \right) \\ & b)y={{\log }_{\sqrt{3}}}\left( -{{x}^{2}}+5x+6 \right) \\ & c)y={{\log }_{0,7}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{x+5} \\ & d)y={{\log }_{\frac{1}{3}}}\dfrac{x-4}{x+4} \\ & e)y={{\log }_{\pi }}\left( {{2}^{x}}-2 \right) \\ & f)y={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}-9 \right) \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Hàm số \(y=\log_ax\) có tập xác định là \((0;+\infty)\)

Hướng dẫn giải

a)

\({{x}^{2}}-3x-4>0\Leftrightarrow \left( x+1 \right)(x-4)>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \)

b)

\(-{{x}^{2}}+5x+6>0\Leftrightarrow \left( -x-1 \right)\left( x-6 \right)>0\Leftrightarrow x\in \left( -1;6 \right) \)

c)

\(\dfrac{{{x}^{2}}-9}{x+5}>0\Leftrightarrow \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}{x+5}>0 \)

Bảng xét dấu:

Vậy \(x\in \left( -5;-3 \right)\cup \left( 3;+\infty \right) \)

d) 

\(\dfrac{x-4}{x+4}>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 4;+\infty \right) \)

e)

\({{2}^{x}}-2>0\Leftrightarrow {{2}^{x}}>{{2}^{1}}\Leftrightarrow x>1 \)

f)

\({{3}^{x-1}}-9>0\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}>{{3}^{2}}\Leftrightarrow x-1>2\Leftrightarrow x>3\Leftrightarrow x\in \left( 3;+\infty \right) \)

Tính đạo hàm của các hàm số cho ở bài tập 2.32

\(\begin{align} & a)y={{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}-3x-4 \right) \\ & b)y={{\log }_{\sqrt{3}}}\left( -{{x}^{2}}+5x+6 \right) \\ & c)y={{\log }_{0,7}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{x+5} \\ & d)y={{\log }_{\frac{1}{3}}}\dfrac{x-4}{x+4} \\ & e)y={{\log }_{\pi }}\left( {{2}^{x}}-2 \right) \\ & f)y={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}-9 \right) \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Áp dụng: Đạo hàm của hàm số lôgarit tính bởi:

\(\left(\log_au\right)'=\dfrac{u'}{u\ln a}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\left[ {{\log }_{8}}\left( {{x}^{2}}-3x-4 \right) \right]'=\dfrac{2x-3}{\left( {{x}^{2}}-3x-4 \right)\ln 8} \)

b)

\(\left[ {{\log }_{\sqrt{3}}}\left( -{{x}^{2}}+5x+6 \right) \right]'=\dfrac{-2x+5}{\left( -{{x}^{2}}+5x+6 \right)\ln \sqrt{3}} \)

c)

\(\left( {{\log }_{0,7}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{x+5} \right)'=\dfrac{\dfrac{2x\left( x+5 \right)-\left( {{x}^{2}}-9 \right)}{{{\left( x+5 \right)}^{2}}}}{\left( \dfrac{{{x}^{2}}-9}{x+5} \right)\ln \left( 0,7 \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}+10x+9}{\left( x+5 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)\ln \left( 0,7 \right)} \)

d)

\(\left( {{\log }_{\frac{1}{3}}}\dfrac{x-4}{x+4} \right)'=\dfrac{\dfrac{8}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}}{\dfrac{x-4}{x+4}\ln \dfrac{1}{3}}=\dfrac{8}{\left( {{x}^{2}}-16 \right)\ln 3} \)

e)

\(\left[ {{\log }_{\pi }}\left( {{2}^{x}}-2 \right) \right]'=\dfrac{{{2}^{x}}\ln 2}{\left( {{2}^{x}}-2 \right)\ln \pi } \)

f)

\(\left[ {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}-9 \right) \right]'=\dfrac{{{3}^{x-1}}\ln 3}{\left( {{3}^{x-1}}-9 \right)\ln 3}=\dfrac{{{3}^{x-1}}}{{{3}^{x-1}}-9} \)

Hãy so sánh \(x\) với 1 biết:

a) \(\log_3x=-0,3\)

b) \(\log_{\frac 1 3}x=1,7\)

c) \(\log_2x=1,3\)

d) \(\log_{\frac 1 4}x=-1,1\)

Phương pháp giải

Tìm  x và so sánh, sử dụng tính chất so sánh mũ.

Hướng dẫn giải

a)

\(\log_3x=-0,3<\log_31\Rightarrow x < 1\)

b)

\(\log_{\frac 1 3}x=1,7\Rightarrow \log_3 x=-1,7<\log_31\Rightarrow x< 1\)

c)

\(\log_2x=1,3>\log_21\Rightarrow x > 1\)

d)

\(\log_{\frac 1 4}x=-1,1\Rightarrow \log_4x=1,1>\log_41\Rightarrow x > 1\)

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng?

A. \(y=\left(\dfrac{\sqrt 3} 2\right)^x\)

B. \(y=\left(\dfrac{e} 3\right)^x\)

C. \(y=\left(\dfrac{\pi} 4\right)^x\)

D. \(y=\left(\dfrac{3} e\right)^x\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y=a^x\) đồng biến khi a > 1 ; nghịch biến khi 0 < a < 1

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(\dfrac {\sqrt 3 }2<\dfrac{\sqrt 4} 2 =1;\\ \dfrac e 3 < 1;\\ \dfrac {\pi} 4< 1;\\ \dfrac 3 e > 1.\)

Vậy hàm số \(y=\left(\dfrac{3} e\right)^x\) đồng biến.

Chọn D.

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến?

A. \(y=\left(\dfrac2{\sqrt 3}\right)^x\)

B. \(y=\left(\dfrac3{\pi}\right)^x\)

C. \(y=\pi^x\)

D. \(y=\left(\dfrac{\sqrt 5}2\right)^x\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y=a^x\) đồng biến khi a > 1 ; nghịch biến khi 0 < a < 1

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\dfrac 2 {\sqrt 3}>1;\\ \dfrac{3}{\pi}<1;\\ \pi > 1;\\ \dfrac{\sqrt 5} 2 > 1.\)

Hàm số \(y=\left(\dfrac3{\pi}\right)^x\) nghịch biến.

Chọn B

Với giá trị nào của \(x\) thì đồ thị hàm số \(y=4^x\) nằm phía trên đường thẳng \(y=1\)?

A. \(x> 0\)

B. \(x< 0\)

C. \(x=0\)

D. \(x< 1\)

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đường thẳng y = 1 khi f(x) > 1

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(4^x>1\Rightarrow x > 0\)

Chọn A.

Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số \( y=\left(\dfrac 2 3 \right)^x\) mằm phía trên đường thẳng \(y=1\)?

A. \(x> 0\)

B. \(x< 0\)

C. \(x=0\)

D. \(x< 1\)

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đường thẳng y = 1 khi f(x) > 1

Hướng dẫn giải

\(\left(\dfrac 2 3 \right)^x > 1\Rightarrow x < 0\)

Chọn B.

Tìm \(x ,\) biết \(2^x=64\)

A. \(x=4\)

B. \(x=5\)

C. \(x=6\)

D. \(x=8\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết \(\displaystyle {a^m} = {a^n} \Leftrightarrow m = n\)

Hướng dẫn giải

\(2^x=4=2^6\\ \Rightarrow x=6\)

Chọn C.

Tìm \(x ,\) biết \(3^x=\dfrac 1 {81}\)

A. \(x=4\)

B. \(x=-4\)

C. \(x=3\)

D. \(x=-3\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết \(\displaystyle {a^m} = {a^n} \Leftrightarrow m = n\)

Hướng dẫn giải

\(3^x=\dfrac 1 {81}=3^{-4}\\ \Rightarrow x =-4\)

Chọn B.

Tìm \(x ,\) biết \( \left(\dfrac 1 4\right) ^x=16\)

A. \(x=-2\)

B. \(x=2\)

C. \(x=\dfrac 1 2\)

D. \(x=-\dfrac 1 2\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết \(\displaystyle {a^m} = {a^n} \Leftrightarrow m = n\)

Hướng dẫn giải

\(\left(\dfrac 1 4\right)^x=16\\ \Rightarrow 2^{-2x}=2^4\\ \Rightarrow x=-2\)

Chọn A

Tìm x, biết \(9^x=\dfrac 1 3\)

A. \(x=-2\)

B. \(x=2\)

C. \(x=\dfrac 1 2\)

D. \(x=-\dfrac 1 2\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết \(\displaystyle {a^m} = {a^n} \Leftrightarrow m = n\)

Hướng dẫn giải

\(9^x=\dfrac 1 3\\ \Rightarrow 3^{2x}=3^{-1}\\ \Rightarrow x=-\dfrac 1 2\)

Chọn D.

Tìm x, biết \((\sqrt 3 -\sqrt 2)^x=\sqrt 3 +\sqrt 2\)

A. \(x=1\)

B. \( x=2\)

C. \(x=\dfrac 1 2\)

D. \(x=-1\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết \(\displaystyle {a^m} = {a^n} \Leftrightarrow m = n\)

Hướng dẫn giải

\((\sqrt 3 -\sqrt 2)^x=\sqrt 3 +\sqrt 2\\ \Rightarrow (\sqrt 3 -\sqrt 2 )^x=\dfrac{(\sqrt 3 +\sqrt 2)(\sqrt 3 -\sqrt 2)}{\sqrt 3 -\sqrt 2}\\ \Rightarrow (\sqrt 3 -\sqrt 2)^x=\dfrac 1 {\sqrt 3 -\sqrt 2}\\ \Rightarrow x=-1\)

Chọn D.

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?

A. \(y=\log_{\frac 1 e}x\)

B. \(y=\log_{\frac{\pi} 3} x\)

C. \(y=\log_{\frac{\sqrt 2} 2}x\)

D. \(y=\log_{\frac e 3}x\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y=\log_ax\) đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1

Hướng dẫn giải

Ta thấy \(\displaystyle \frac {\pi }{3} > 1\) nên hàm số \(\displaystyle y = {\log _{\frac {\pi }{3}}}x\) đồng biến trên \(\displaystyle \left( {0; + \infty } \right)\)

Chọn B.

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến?

A. \(y=\lg x\)

B. \( y=\ln x\)

C. \(y=\log_{\sqrt 3} x\)

D. \(y=\log_{\frac 2 e}x\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y=\log_ax\) đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 

Hướng dẫn giải

Ta thấy \(\displaystyle 0 < \frac {2}{e} < 1\) nên hàm số \(\displaystyle y = {\log _{\frac {2}{e}}}x\) nghịch biến trên \(\displaystyle \left( {0; + \infty } \right)\)

Chọn D.