Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Phần hướng dẫn giải bài tập Phương trình lượng gác cơ bản sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản-Nâng cao.

Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Giải bài 1 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(\small sin (x + 2) =\frac{1}{3}\)

b) \(\small sin 3x = 1\)

c) \(\small sin (\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}) =0\)

d) \(\small sin (2x + 20^0) =-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Phương pháp giải

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha  + k2\pi }\\
{x = \pi  - \alpha  + k2\pi }
\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(sin (x + 2) =\frac{1}{3}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x+2=arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\ \\ x+2=\pi -arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\) 

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\)

và \(x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\)

Câu b: \(sin 3x = 1 \Leftrightarrow sin3x=sin\frac{\pi }{2}\)

\(\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi ,k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})\)

Câu c: \(sin\left ( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right )=0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}= k\pi, k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k \pi,k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}, k\in Z\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2}, k\in Z\)

Câu d: \(sin(2x+20^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0)\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x+20^0=204^0+k360^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-40^0+k180^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=110^0+k180^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-40^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z}); x=110^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})\)

2. Giải bài 2 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin 3x = \sin x\).

Hướng dẫn giải

\(x\) thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi x là nghiệm của phương trình:             

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\sin 3x = \sin x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = x + k2\pi \\
3x = \pi - x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k2\pi \\
4x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Vậy \(\left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr 
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\) là nghiệm.

3. Giải bài 3 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(\small cos (x - 1) =\frac{2}{3}\)

b) \(\small cos 3x = cos 12^0\)

c) \(\small cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}\)

d) \({\cos ^2}2x = \frac{1}{4}\)

Phương pháp giải

\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = - \alpha + k2\pi 
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(\begin{array}{l}
\,\,\cos \left( {x - 1} \right) = \frac{2}{3}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = \arccos \frac{2}{3} + k2\pi \\
x - 1 = - \arccos \frac{2}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arccos \frac{2}{3} + 1 + k2\pi \\
x = - \arccos \frac{2}{3} + 1 + k2\pi 
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}\)

Câu b: Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\cos 3x = \cos {12^0}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = {12^0} + k{360^0}\\
3x = - {12^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {4^0} + k{120^0}\\
x = - {4^0} + k{120^0}
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}\)

Câu c: Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{3x}}{2} = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{11\pi }}{{18}} + \frac{{4k\pi }}{3}\\
x = \frac{{ - 5\pi }}{{18}} + \frac{{4k\pi }}{3}
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}\)

Câu d: Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,{\cos ^2}2x = \frac{1}{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}\\
\cos 2x = - \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi 
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

4. Giải bài 4 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình sau: \(\small \frac{2cos2x}{1-sin2x}=0\)

Phương pháp giải

  • Tìm ĐKXĐ.
  • \(\dfrac{A}{B} = 0 \Rightarrow A = 0\)
  • Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\sin 2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \dfrac{\pi }{2}+k2 \pi \) \(\Leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi }{4}+k \pi(k\in \mathbb{Z})\)

\(\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\)

\(\Rightarrow 2\cos 2x=0\) 

\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Kiểm tra ĐK: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{4} + l\pi \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{k\pi }}{2} \ne l\pi  \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} \ne l\)

\(\Leftrightarrow k \ne 2l\)

Hay \(k\) không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên \(k = 2m + 1\).

Vậy \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)\pi }}{2} = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi \).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi ,m\in Z \).

5. Giải bài 5 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(\small tan (x - {15^0}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

b) \(\small cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\)

c) \(\small cos 2x . tan x = 0\)

d) \(\small sin 3x . cot x = 0\)

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}
\,\,\tan x = \tan a \Leftrightarrow x =a + k180^0 \\ \left( {k \in Z} \right)\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Điều kiện \(x - 15^0\neq 90^0+k180^0\) hay \(x\neq 105^0+k.180^0.\)

\(tan (x - 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0\), với điều kiện:

Ta có phương trình \(tan (x - 15^0) = tan30^0\)

\(\Leftrightarrow x - 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)

\(\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)

Câu b: \(cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\), với điều kiện \(3x-1\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})\) hay \(x\neq \frac{1+k \pi}{3}(k\in \mathbb{Z})\)

Ta có phương trình \(cot (3x - 1) = cot(-\frac{\pi }{6})\)

 \(\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{5\pi }{6}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\)

Câu c: \(cos2x.tanx=0 \Leftrightarrow \cos 2x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\), với điều kiện \(cosx\neq 0\)

\(\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\), ta có phương trình: \(cos2x . sinx = 0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sin2x=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}\\ x=k \pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})\) (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})\) hoặc \(x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\)

Câu d: \(sin 3x . cot x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0\), với điều kiện \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k.2\pi (k\in \mathbb{Z})\)

Ta có phương trình sin3x.cos = 0

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sin3x=0\\ cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=k2\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k2 \pi}{3}\\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}(k \in \mathbb{Z})\)

So sánh với điều kiện ta thấy khi \(k = 3m,m \in \mathbb{Z}\) thì \(x = 2m\pi  \Rightarrow \sin x = 0\) không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\frac{k2 \pi}{3}\) và \(x=\frac{\pi }{2}+k \pi (k \neq 3m, m\in \mathbb{Z})\)

6. Giải bài 6 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(\small y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)\) và \(\small y = tan2x\) bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Giá trị của các hàm số: \(tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\) và \(y=tan 2x\) bằng nhau khi:

Ta có \(tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi\)

\(\Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})\)

7. Giải bài 7 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(sin 3x - cos 5x = 0\)

b) \(\small tan 3x . tan x = 1\)

Phương pháp giải

a) Chuyển vế, sử dụng công thức \(\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) đưa phương trình về dạng \(\cos \alpha = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = \beta + k2\pi \\\alpha = - \beta + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

b) Tìm ĐKXĐ.

Sử dụng các công thức: \(\frac{1}{{\tan x}} = \cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) đưa phương trình về dạng \(\tan \alpha  = \tan \beta  \Leftrightarrow \alpha  = \beta  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\sin 3x - \cos 5x = 0\\\Leftrightarrow \cos 5x=\sin 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} (k\in Z)\) và \(x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, (k\in \mathbb{Z})\)

Câu b: Điều kiện:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\tan 3x\tan x = 1\\\Leftrightarrow \tan 3x = \frac{1}{{\tan x}} \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \cot x \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \\\Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, \)\(k \in \mathbb{Z}\).

Ngày:14/07/2020 Chia sẻ bởi:Ngoan

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM