Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Vẽ đồ thị của các hàm số

a) \(\small y = 4^x\)

b) \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\)

Phương pháp giải

Thực hiện các bước khảo sát đơn giản như sau

Xét hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne1)\)

• Nếu a>1 thì hàm số đồng biến trên R, nếu 0
• Lập bảng giá trị tung độ, hoành đồ các điểm mà đồ thị hàm số đi qua.
• Vẽ đồ thị.

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét hàm số \(\small y = 4^x\)

Tập xác định D=R.

Do a=4>0 nên hàm số đồng biến trên R.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Câu b

Xét hàm số \(\small y = \left ( \frac{1}{4} \right )^x\)

Tập xác định D=R.

Do \(\small a=\frac{1}{4}<1\) nên hàm số nghịch biến trên R.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Tính đạo hàm của các hàm số

a) \(\small y = 2xe^x + 3sin2x\)

b) \(\small y = 5x^2 - 2xcosx\)

c) \(y=\frac{x+1}{3^{x}}\)

Phương pháp giải

Ta sử dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số mũ:

- Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )'=e^x\)

- Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)

- Đối với hàm hợp

• ​\(({e^u})' = u'.{e^u}\)
• ​\(({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small y = 2xe^x + 3sin2x.\)

\(\begin{array}{l} y' = 2\left[ {x'{e^x} + x.({e^x})'} \right] + 3(2x)'.\cos 2x\\ = 2{e^x} + 2x{e^x} + 6\cos 2x. \end{array}\)

Câu b

\(\small y = 5x^2 - 2xcosx.\)

\(y' = 10x - ({2^x})'\cos x - {2^x}(\cos x)' = 10x - {2^x}\ln 2.\cos x + {2^x}\sin x.\)

Câu c

\(y=\frac{x+1}{3^{x}}\)

\(\begin{array}{l} y' = \frac{{\left( {x + 1} \right)'{{.3}^x} - (x + 1)({3^x})'}}{{{{({3^x})}^2}}} = \frac{{{3^x} - (x + 1){{.3}^x}\ln 3}}{{{{({3^x})}^2}}}\\ = \frac{{1 - (x + 1)\ln 3}}{{{3^x}}}. \end{array}\)

Tìm tập xác định của các hàm số

a) \(y= log_2(5-2x)\)

b) \(y= log_3(x^2-2x)\)

c) \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\)

d) \(\small y=log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\)

Phương pháp giải

Cho số thực dương \(a\) khác 1

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a có tập xác định: \(D=\left( {0; + \infty } \right).\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Hàm số \(y= log_2(5-2x)\) xác định khi \(5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right).\)

Câu b

Hàm số \(y= log_3(x^2-2x)\) xác định khi \({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Câu c

Hàm số \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) xác định khi \({x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 1\\ x > 3 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = ( - \infty ;1) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)

Câu d

Hàm số \(\small y=log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}\) xác định khi: \(\frac{{3x + 2}}{{1 - x}} > 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < x < 1\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{2}{3};1} \right).\)

Vẽ đồ thị của các hàm số

a) \(y = logx\)

b) \(y=log_{\frac{1}{2}}x\)

Phương pháp giải

Xét hàm số \(y = {\log _a}x(a > 0,a \ne 1)\)

• Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
• Nếu a>1 thì hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), nếu 0.
• Lập bảng giá trị tung độ, hoành đồ các điểm mà đồ thị hàm số đi qua.
• Vẽ đồ thị.

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét hàm số \(y = logx\)

Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

a=10>1 nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Câu b

Xét hàm số \(y=log_{\frac{1}{2}}x\)

Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

\(a=\frac{1}{2}<1\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Tính đạo hàm của các hàm số

a) \(\small y= 3x^2 - lnx + 4sinx\)

b) \(\small y= log(x^2+ x + 1)\)

c) \(y=\frac{log_{3}x}{x}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

- \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

- \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

- \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)

- Đối với hàm hợp

• ​\(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\)
• ​\(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(y= 3x^2 - lnx + 4sinx\)

\(y' = 6x - \frac{1}{x} + 4\cos x\)

Câu b

\(\small y= log(x^2+ x + 1)\)

\(y' = \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)'}}{{({x^2} + x + 1)ln10}} = \frac{{2x + 1}}{{({x^2} + x + 1)\ln 10}}.\)

Câu c

 \(y=\frac{log_{3}x}{x}\)

\(\begin{array}{l} y' = \frac{{\left( {{{\log }_3}x} \right)'x + x'.lo{g_3}x}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{1}{{x\ln 3}}.x + {{\log }_3}x}}{{{x^2}}}\\ = \frac{{\frac{1}{{\ln 3}} + {{\log }_3}x}}{{{x^2}}} = \frac{{\ln 3.{{\log }_3}x + 1}}{{{x^2}.\ln 3}}. \end{array}\)