Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) \(e^{-x}\) và \(-e^{-x}\)

b) \(sin2x\) và  \(sin^2x\)

c) \((1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}\) và \((1-\frac{4}{x})e^{x}\)

Phương pháp giải

• Sử dụng định nghĩa: Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
• Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm cơ bản: \( \left( {{e^u}} \right)' = u'{e^u};\;\;\left( {\sin u} \right)' = u'\cos u....\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(e^{-x}\) và \(-  e^{-x}\) là nguyên hàm của nhau, vì

\(({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left( { - 1} \right)=  - {e^{ - x}}\)  và \(( - {e^{ - x}})' = \left( { - 1} \right)( - {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}\)

Câu b: \(sin^2x\)   là nguyên hàm của \(sin2x\), vì:

\(\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)' = 2sinxcosx = sin2x\)

Câu c: \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\) là một nguyên hàm của \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\)  vì:

\(({(1-\dfrac{4}{x})e^{x})}'\) \(= \dfrac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)\(= \left (1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^{2}} \right )e^{x}\) \(= (1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}.\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) \(\small f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\)

b)  \(f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\)

c)  \(f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\)

d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)

e) \(f(x) = tan^2x\)

g) \(f(x) = e^{3-2x}\)

h) \(f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\)

Phương pháp giải

Biến đổi các biểu thức đã cho về tổng các biểu thức mà ta có thể suy ra được ngay nguyên hàm theo công thức tìm nguyên hàm của các hàm số cơ bản đã được giới thiệu trong bài học.

ÁP dụng các tính chất

•  \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).
• \(\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = \frac{{x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{\frac{1}{3}}}\)

\(\Rightarrow \int {f(x)dx} = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + {\frac{3}{2}^{\frac{2}{3}}} + C.\)

Câu b

\(f(x) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}\)

\(\Rightarrow \int {f(x)dx}  = \int {\left( {\frac{{{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{2}{e}}} + {e^{ - x}}} \right)} dx{\rm{}} = \frac{{{2^x}}}{{{e^x}(\ln 2 - 1)}} + \frac{1}{{{e^x}}} = \frac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}(\ln 2 - 1)}}.\)

Câu c

\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.co{s^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x - \cot x + C} \end{array}\)

Câu d

\(f(x) = \sin 5x.\cos 3xdx = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)\)

Vậy

\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{8}\cos 8x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ = - \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C \end{array}\)

Câu e

\(\begin{array}{l} f(x) = {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \tan x - x + C. \end{array}\)

Câu g

\(\int {f(x)dx} = \int {{e^{3 - 2x}}dx} = - \frac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\)

Câu h

\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 - 2x)}} = \frac{a}{{1 + x}} + \frac{b}{{1 - 2x}}\\ = \frac{{a(1 - 2x) + b(1 + x)}}{{(1 + x)(1 - 2x)}} = \frac{{(b - 2a)x + a + b}}{{(1 + x)(1 - 2x)}}. \end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} b - 2a = 0\\ a + b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

Vậy

\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} + \frac{2}{3}\int {\frac{1}{{1 - 2x}}dx} \\ = \frac{1}{3}\ln \left| {1 + x} \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {2x - 1} \right| + C = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{2x - 1}}} \right| + C. \end{array}\)

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính

a) \(\small \int (1-x)^9dx\) (đặt u =1-x)

b) \(\small \int x(1+x^2)^\frac{3}{2} dx\)​ (đặt u = 1 +  x2)

c) \(\small \int cos^3x.sinxdx\) (đặt t = cosx)

d) \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt u= ex +1)

Phương pháp giải

• Đặt  \(u = u\left( x \right) \Rightarrow du = u'\left( x \right)dx.\)
• Khi đó:  \( \Rightarrow I = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( u \right)du.} \)
• Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn \(u\).
• Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn \(x\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt: \(u = 1 - x \Rightarrow du = - dx \Rightarrow dx = - du\)

\(\int {{{(1 - x)}^9}dx} = - \int {{u^9}du} = - \frac{{{u^{10}}}}{{10}} + C = - \frac{1}{{10}}{(1 - x)^{10}} + C.\)

Câu b

Đặt: \(u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\)

\(\int {x{{(1 + {x^2})}^{\frac{3}{2}}}dx} = \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{3}{2}}}du} = \frac{1}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{1}{5}{(1 + {x^2})^{\frac{5}{2}}} + C.\)

Câu c

Đặt: \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow \sin xdx = - dt\)

\(\int {{{\cos }^3}x.\sin xdx} = - \int {{t^3}dt} = - \frac{{{t^4}}}{4} + C = - \frac{1}{4}{\cos ^4}x + C.\)

Câu d

Ta có: \(\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^{2x}} + 2.{e^x} + 1}}} = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{{({e^x} + 1)}^2}}}} }\)

Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow dt = {e^x}dx\)

Suy ra: \(I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2}}} = - \frac{1}{t} + C = - \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.}\)

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(\small \int xln(1+x)dx\)

b) \(\int (x^2+2x+1)e^xdx\)

c) \(\small \int xsin(2x+1)dx\)

d) \(\small \int (1-x)cosxdx\)

Phương pháp giải

Một số dạng nguyên hàm và cách đặt để tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)

Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)

Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (1 + x)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \int {x\ln (1 + x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}dx}}{{x + 1}}} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {1 + x} \right|} \right) + C\\ = \frac{1}{2}({x^2} - 1)\ln (1 + x) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C. \end{array}\)

Câu b

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} + 2x - 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (2x + 2)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\int {({x^2} + 2x + 1)} {e^x}dx = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2\int {(x + 1){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

Suy ra: \(\int {(x + 1){e^x}dx} = (x + 1){e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} + C\)

Vậy: \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx} = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2x{e^x} + C = ({x^2} - 1){e^x} + C.\)

Câu c

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin (2x + 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos (2x + 1) \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \int {x\sin (2x + 1)dx} = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} \\ = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C. \end{array}\)

Câu d

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 1 - x\\ dv = \cos dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = - dx\\ v = \sin x \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \int {(1 - x)\cos xdx} = (1 - x)\sin x + \int {\sin xdx} \\ = (1 - x)\sin x - \cos x + C. \end{array}\)