Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 1: Luỹ thừa

Tính

a) \(9^{\frac{2}{5}}.27^{\frac{2}{5}}\)

b) \(144^{\frac{3}{4}}: 9^{\frac{3}{4}}\)

c) \(\left ( \frac{1}{16} \right )^{-0,75}+\left ( 0,25 \right )^{\frac{-5}{2}}\)

d) \(\left ( 0,04 \right )^{-1,5}-\left ( 0,125 \right )^{\frac{-2}{3}}\)

Phương pháp giải

Cách 1: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện các phép tính. 

Cách 2: Sử dụng các công thức của hàm lũy thừa để tính: \(a^n.b^n=(ab)^n;  a^m.a^n=a^{m+n};\) \( (a^m)^n=a^{mn};  \frac{1}{a}=a^{-1}.\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\({9^{\frac{2}{5}}}{.27^{\frac{2}{5}}} = {(9.27)^{\frac{2}{5}}} = {\left( {{3^5}} \right)^{\frac{2}{5}}} = {3^2} = 9.\)

Câu b

\({144^{\frac{3}{5}}}:{9^{\frac{3}{4}}} = {\left( {\frac{{144}}{9}} \right)^{\frac{3}{4}}} = {16^{\frac{3}{4}}} = {({2^4})^{\frac{3}{4}}} = {2^3} = 8.\)

Câu c

\({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {0,25^{ - \frac{5}{2}}} = {({2^{ - 4}})^{ - 0,75}} + {({2^{ - 2}})^{ - \frac{5}{2}}} = {2^3} + {2^5} = 8 + 32 = 40.\)

Câu d

\({(0,04)^{ - 1,5}} - {(0,125)^{ - \frac{2}{5}}} = {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} - {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} = {({5^{ - 2}})^{ - \frac{3}{2}}} - {({2^{ - 3}})^{ - \frac{2}{3}}} = {5^3} - {2^2} = 121.\)

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 

a) \(a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}\)

b) \(b^{\frac{1}{2}}.b ^{\frac{1}{3}}. \sqrt[6]{b}\)

c) \(a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}\)

d) \(\sqrt[3]{b}: b^{\frac{1}{6}}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức của hàm lũy thừa để tính: \(a^n.b^n=(ab)^n; \, \, a^m.a^n=a^{m+n}; \\(a^m)^n=a^{mn};  \frac{1}{a}=a^{-1};\\ \sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}};\;\;{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}.\)

Câu a

\({a^{\frac{1}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{6}}}.\)

Câu b

\({b^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{b} = {b^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{3}}}.{b^{\frac{1}{6}}} = {b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = b.\)

Câu c

\({a^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a} = {a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}} = a.\)

Câu d

\(\sqrt[3]{b}:{b^{\frac{1}{6}}} = {b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}}} = {b^{\frac{1}{6}}}.\)

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần

a) \(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; \((\frac{1}{2})^{-3}\)

b) \(98^{0}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) ; \(32^{\frac{1}{5}}\).

Phương pháp giải

• Sử dụng công thức đổi cơ số:  \({\left( {\frac{1}{a}} \right)^m} = {a^{ - m}}\).
• Sử dụng công thức:  \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}.\)
• Quy ước:  \({1^m} = 1.\)

Sử dụng tính chất: Trong các lũy thừa cùng cơ số lớn hơn \(1\), lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lũy thừa đó lớn hơn.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; \((\frac{1}{2})^{-3}\)
Ta có: \({1^{3,75}} = 1 = {2^0};{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} = {2^3}.\)
Có: \( - 1 < 0 < 3 \Rightarrow {2^{ - 1}} < {2^0} < {2^3}\) \( \Rightarrow {2^{ - 1}} < {1^{3,75}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}}.\)
Vậy ta sắp xếp được: \({2^{ - 1}};1^{3,75};{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}}.\)

Câu b

\({98^0};{\left( {\frac{3}{7}} \right)^{ - 1}};{32^{\frac{1}{5}}}.\)
Ta có: \({98^0} = 1;{\left( {\frac{3}{7}} \right)^{ - 1}} = \frac{7}{3} \approx 2,\left( {33} \right);\) \({32^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^5}} \right)^{\frac{1}{5}}} = 2.\)
Có: \(1 < 2 < \frac{7}{3} \Rightarrow {98^0} < {32^{\frac{1}{5}}} < {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{ - 1}}.\)
Vậy ta sắp xếp được: \({98^0};{32^{\frac{1}{5}}};{\left( {\frac{3}{7}} \right)^{ - 1}}.\)

 Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\frac{a^{\frac{4}{3}}\left ( a^{\frac{-1}{3}}+ a^{\frac{2}{3}} \right )}{a^{\frac{1}{4}}\left ( a^{\frac{3}{4}}+ a^{\frac{-1}{4}} \right )}\).

b) \(\frac{b^{\frac{1}{5}}\left ( \sqrt[5]{b^{4}}- \sqrt[5]{b^{-1}} \right )}{b^{\frac{2}{3}}\left (\sqrt[3]{b}- \sqrt[3]{b^{-2}} \right )}\).

c) \(\frac{a^\frac{1}{3}.b^{-\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}.b^\frac{1}{3}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}\).

d) \(\frac{a^\frac{1}{3}.\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a^2}+\sqrt[6]{b^2}}\).

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản và các hằng đẳng thức để rút gọn các biểu thức.

Hướng dẫn giải

Câu a

\({{{a^{{4 \over 3}}}\left( {{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 4}}}\left( {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{{ - 1} \over 4}}}} \right)}}\) \( = {{{a^{{4 \over 3}}}{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{4 \over 3}}}{a^{{2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4}}}{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4}}}{a^{{{ - 1} \over 4}}}}}\)

\( = {{{a^{{4 \over 3} - {1 \over 3}}} + {a^{{4 \over 3} + {2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4} + {3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4} + {{ - 1} \over 4}}}}} = {{{a^1} + {a^2}} \over {{a^1} + {a^0}}} = {{a\left( {1 + a} \right)} \over {a + 1}} = a\)  (Với \(a>0\)).

Câu b

\({{{b^{{1 \over 5}}}\left( {\root 5 \of {{b^4}}  - \root 5 \of {{b^{ - 1}}} } \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {\root 3 \of b  - \root 3 \of {{b^{ - 2}}} } \right)}} = {{{b^{{1 \over 5}}}\left( {{b^{{4 \over 5}}} - {b^{{{ - 1} \over 5}}}} \right)} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left( {{b^{{1 \over 3}}} - {b^{{{ - 2} \over 3}}}} \right)}}\)

\( = \frac{{{b^{\frac{1}{5}}}.{b^{\frac{4}{5}}} - {b^{\frac{1}{5}}}.{b^{ - \frac{1}{5}}}}}{{{b^{\frac{2}{3}}}.{b^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}\)

\(= {{{b^{{1 \over 5} + {4 \over 5}}} - {b^{{1 \over 5} - {1 \over 5}}}} \over {{b^{{2 \over 3} + {1 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3} - {2 \over 3}}}}} = {{b - 1} \over {b - 1}} = 1\) ( Với điều kiện \(b>0; \, b \neq 1\)).

Câu c

\({{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} - {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}} \over {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {{b^2}} }}\)

\(= {{{a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}}\left( {{a^{{2 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3}}}} \right)} \over {{a^{{2 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3}}}}}\) \( = {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} \)

\( = {\left( {ab} \right)^{ - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{{{{\left( {ab} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\)

(với điều kiện \(a \neq b; a, b >0\).).

Câu d

\({{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b  + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a  + \root 6 \of b }}\) \(= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\) \(= {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{3 \over 6}}} + {b^{{2 \over 6}}}{a^{{3 \over 6}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\)

\(= {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}}\left( {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}} \right)} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}} = {a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}} = \root 3 \of {ab} .\) (Với \(a, b > 0\)).

Chứng minh rằng

a) \(\left ( \frac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}} <\left ( \frac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\)

b) \(7^{\sqrt[6]{3}}> 7^{\sqrt[3]{6}}\)

Phương pháp giải

- Đưa bài toán về dạng so sánh hai lũy thừa cùng cơ số: Với lũy thừa có cơ số lớn hơn \(1\) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì số đó lớn hơn.

Ngược lại, với lũy thừa có cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lũy thừa đó nhỏ hơn.

- Sử dụng công thức:  \(A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}.B} .\)

- So sánh hai căn bậc hai:  \(a > b > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > \sqrt b .\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(2\sqrt 5 = \sqrt {{2^2}.5} = \sqrt {20} ;\)

\(3\sqrt 2 = \sqrt {{3^2}.2} = \sqrt {18} .\)
Vì \(20 > 18 \Rightarrow \sqrt {20} > \sqrt {18} \)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt 5 > 3\sqrt 2 .\)
Lại có: \(0 < \dfrac{1}{3} < 1\) \( \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{2\sqrt 5 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{3\sqrt 2 }}\) (đpcm)

Câu b: Ta có: \(6\sqrt 3 = \sqrt {{6^2}.3} = \sqrt {108} ;\)

\(3\sqrt 6 = \sqrt {{3^2}.6} = \sqrt {54} .\)
Vì \(108 > 54  \Rightarrow \sqrt {108}  > \sqrt {54} \) \(\Rightarrow 6\sqrt 3 > 3\sqrt 6 .\)
Mà \(7 > 1 \Rightarrow {7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}\) (đpcm)