Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Giải các phương trình mũ

a) \(\small (0,3)^{3x-2} = 1\)

b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}=25\)

c) \(2^{x^{2}-3x+2}=4\)

d) \((0,5)^{x+7}.(0,5)^{1-2x} = 2\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số: với \(0

Hướng dẫn giải

Câu a

\({(0,3)^{3x - 2}} = 1 \Leftrightarrow {(0,3)^{3x - 2}} = {(0,3)^0} \Leftrightarrow 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}.\)

Câu b

\({\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} = 25 \Leftrightarrow {5^{ - x}} = {2^2} \Leftrightarrow x = - 2.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{-2 \right\}.\)

Câu c

\({2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right..\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{0;3 \right\}.\)

Câu d

\({(0,5)^{x + 7}}.{(0,5)^{1 - 2x}} = 2 \Leftrightarrow {(0,5)^{8 - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow 8 - x = - 1 \Leftrightarrow x = 9.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{9 \right\}.\)

Giải các phương trình mũ

a) \({3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\)

b) \({2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\)

c) \({64^x}-{8^x}-56 =0\)

d) \({3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt ẩn đưa phương trình về phương trình theo 1 ẩn mới.

Xét phương trình: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)

Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\), phương trình trở thành: \(a.t^2+b.t+c=0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\({3^{2x - 1}} + {3^{2x}} = 108 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{.3^{2x}} + {3^{2x}} = 108 \Leftrightarrow \frac{4}{3}{.3^{2x}} = 108.\)

Đặt \(t=3^{2x},t>0\) phương trình trở thành: \(\frac{4}{3}t=108\Leftrightarrow t=81\)

Suy ra: \(3^{2x}=81\Leftrightarrow 3^{2x}=3^4\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S=\left \{ 2 \right \}.\)

Câu b

\(\begin{array}{l} {2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28 \Leftrightarrow {2.2^x} + \frac{1}{2}{.2^x} + {2^x} = 28\\ \Leftrightarrow \frac{7}{2}{.2^x} = 28. \end{array}\)

Đặt \(t=2^x,t>0\) phương trình trở thành: \(\frac{7}{2}t = 28 \Leftrightarrow t = 8 \Rightarrow {2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 3 \right \}.\)

Câu c 

\({64^x} - {8^x} - 56 = 0 \Leftrightarrow {8^{2x}} - {8^x} - 56 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{8^x}} \right)^2} - {8^x} - 56 = 0.\)

Đặt t = 8x ,t> 0. Phương trình đã cho trở thành:

t2 – t – 56 = 0 ⇔ t = 8 (nhận) hoặc t = -7 (loại).

Với t=8 ta có: 8x = 8 ⇔ x = 1.

Câu d

Chia hai vế phương trình cho \(9^x>0\) ta được phương trình tương đương:

\(3.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3.{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x}} \right]^2} - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} - 1 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}(t > 0)\), phương trình đã cho trở thành: \(3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - \frac{1}{3}(l) \end{array} \right.\)

Với \(t = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S=\left \{ 0 \right \}.\)

Giải các phương trình lôgarit

a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\)

b) \({\log \left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\log \left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log {\rm{ }}2}\)

c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\)

d) \({\log {\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\log {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số: Với \(00 \end{matrix}\right.\).

Khi trình bày bài giải như trên ta không cần nêu điều kiện xác định của phương trình.

Ta cũng có thể nêu điều kiện xác định của phương trình trước, khi đó lời giải của bài toán sẽ đơn giản hơn:

\({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x).\)

Sau khi giải xong ta lấy giao tập các nghiệm thu được và tập xác định ta được nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

Phương trình: log3(5x + 3) = log3( 7x + 5).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 5x + 3 > 0\\ 7x + 5 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > - \frac{3}{5}(*)\)

\({\log _3}\left( {5x + 3} \right) = {\log _3}\left( {7x + 5} \right) \Leftrightarrow 5x + 3 = 7x + 5 \Leftrightarrow x = - 1\) (Không thỏa (*)).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b

Phương trình: log(x – 1) – log(2x -11) = log2

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ 2x - 11 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{11}}{2}(*).\)

\(\log (x - 1) - \log (2x - 11) = \log 2\)

\(\Leftrightarrow \log \frac{{x - 1}}{{2x - 11}} = \log 2 \Leftrightarrow \frac{{x - 11}}{{2x - 11}} = 2\)

\(\Leftrightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7\) (Thỏa (*)).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 7 \right \}.\)

Câu c

Phương trình log2(x- 5) + log2(x + 2) = 3.

Điều kiện: x>5 (*)

\({\log _2}(x - 5) + {\log _2}(x + 2) = 3 \Leftrightarrow {\log _2}(x - 5)(x + 2) = {\log _2}8\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 5)(x + 2) = 8 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 6\,\,(thoa\,(*))\\ x = - 3\,\,(khong\,thoa\,(*)) \end{array} \right.. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 6 \right \}.\)

Câu d

Phương trình log(x2 – 6x + 7) = log(x – 30)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 3 > 0\\ {x^2} - 6x + 7 > 0 \end{array} \right.\,(*)\)

\(\begin{array}{l} \log \left( {{x^2} - 6x + 7} \right) = \log \left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\,\,(thoa\,(*))\\ x = 2\,\,(khong\,thoa\,(*)) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 5 \right \}.\)

Giải các phương trình lôgarit

a) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 + x -5) = log5x +log\frac{1}{5x}\)

b) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 - 4x - 1) = log8x - log4x\)

c) \(log_{\sqrt{2}}x+ 4log_4x + log_8x = 13\)

Phương pháp giải

Vận dụng các công thức lôgarit đã học để biết đổi phương trình và sử dụng phương pháp mũ hóa để tìm nghiệm: \(0

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small \frac{1}{2}log(x^2 + x -5) = log5x +log\frac{1}{5x}\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x - 5 > 0\\ 5x > 0 \end{array} \right.(*)\)

Khi đó

 \(\begin{array}{l} \frac{1}{2}log({x^2} + x - 5) = log5x + log\frac{1}{{5x}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}log({x^2} + x - 5) = \log \frac{{5x}}{{5x}}\\ \Leftrightarrow log({x^2} + x - 5) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\,(Thoa\,\,(*))\\ x = - 3\,(Khong\,thoa\,(*)) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left \{ 2 \right \}.\)

Câu b

 \(\small \frac{1}{2}log(x^2 - 4x - 1) = log8x - log4x\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x - 1 > 0\\ x > 0 \end{array} \right.\,\,(*)\)

Khi đó 

\(\begin{array}{l} \frac{1}{2}log({x^2} - 4x - 1) = log8x - log4x\\ \Leftrightarrow log({x^2} - 4x - 1) = 2\log \frac{{8x}}{{4x}}\\ \Leftrightarrow log({x^2} - 4x - 1) = \log 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\,\,(Khong\,thoa\,(*))\\ x = 5\,(Thoa\,(*)) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left \{ 5 \right \}.\)

Câu c

\(log_{\sqrt{2}}x+ 4log_4x + log_8x = 13.\)

Điều kiện xác định: x>0

Khi đó

\(\begin{array}{l} lo{g_{\sqrt 2 }}x + 4lo{g_4}x + lo{g_8}x = 13\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + \frac{1}{3}{\log _2}x = 12\\ \Leftrightarrow \frac{{13}}{3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = 8\,(thoa\,(*)) \end{array}\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S=\left \{ 8 \right \}.\)