Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Giải các bất phương trình mũ

a) \(\small 2^{-x^{2}+3x}<4\)

b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}\geq \frac{9}{7}\)

c) \(3^{x+2} + 3^{x-1} \leq 28\)

d) \(4^x - 3.2^x + 2 > 0\)

Phương pháp giải

Sử dụng các phương pháp sau để giải các bất phương trình mũ ở bài 1:

Câu a, câu b, câu c: Dùng phương pháp đưa về cùng cơ số:

- Nếu \(a>1\)

• \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
• ​\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)

- Nếu \(0

• \(a^x>a^y\Leftrightarrow x
• ​\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)

Câu d: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:

Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)​.

Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\).

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(2^{-x^{2}+3x}<4\) ⇔  \(2^{-x^{2}+3x}<2^2\)   ⇔ -x2 + 3x < 2 ⇔ x2 – 3x + 2 > 0  ⇔ x > 2 hoặc x < 1.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Câu b

  ≥  ⇔   ≥  \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{-1}\) ⇔ 2x2– 3x  ≤ -1 ⇔ 2x2– 3x + 1  ≤ 0 ⇔ \(\frac{1}{2}\leq x\leq 1.\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ {\frac{1}{2};1} \right].\)

Câu c

\({3^{x + 2}} + {3^{x - 1}} \le 28 \Leftrightarrow {9.3^x} + \frac{1}{3}{.3^x} \le 28 \Leftrightarrow {3^x} \le 3 \Leftrightarrow x \le 1.\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;1} \right].\)

Câu d

Xét phương trình: 4x – 3.2x + 2 > 0 

Đặt t = 2x > 0, bất phương trình đã cho trở thành:

t2 – 3t + 2 >0 ⇔ 0 < t < 1 hoặc t > 2.

Với t<1 ta có: 0<2x < 1 ⇔ 2x  < 20 ⇔ x < 0.

Với t>2 ta có: 2x > 2 ⇔ 2x > 21 ⇔  x > 1.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Giải các bất phương trình lôgarit

a) \(\small log_8(4- 2x) \geq 2\)

b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)\)

c) \(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\)

d) \(log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0\)

Phương pháp giải

Ta sử dụng các phương pháp sau để giải các bất phương trình lôgarit bài 2

Câu a, câu b, câu c: dùng phương pháp đưa về cùng cơ số

• Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
• Với \(0\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)0 \end{matrix}\right.\)

Câu d: dùng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\small log_8(4- 2x) \geq 2\)

Điều kiện: x ≤ 2.

Ta có: 2=  suy ra: log8(4- 2x) ≥  ⇔ 4- 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ -30.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ; - 30} \right].\)

Câu b

\(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 3x - 5 > 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}.\)

Khi đó:  >  ⇔ 3x - 5 < x + 1 ⇔ x < 3.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {\frac{5}{3};3} \right).\)

Câu c

\(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\)

Điều kiện: x > 2. 

log5(x- 2) =  = -log0,2(x- 2).

Suy ra

\(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\)

⇔log0,2x + log0,2(x- 2) < log0,23 

⇔ log0,2 x(x- 2) < log0,23 ⇔ x (x - 2) > 3 

⇔ x2- 2x – 3 > 0 ⇔ x<-1 hoặc x>3.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {3; + \infty } \right).\)

Câu d

\(log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0\)

Điều kiện: x>0.

Đặt t = log3x. Bất phương trình trở thành:

t2 – 5t + 6 ≤  0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3.

Suy ra: 2 ≤ log3x ≤3 ⇔  ≤  log3x ≤   ⇔ 9 ≤ x ≤ 27.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ {9;27} \right].\)