Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Thực hiện các phép chia sau

a) \(\frac{2+i}{3-2i}\)

b) \(\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\)

c) \(\frac{5i}{2-3i}\)

d) \(\frac{5-2i}{i}\)

Phương pháp giải

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\frac{2+i}{3-2i}=\frac{(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}\) \(\large =\frac{(2+i)(3+2i)}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i.\)

Câu b

 \(\large \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}=\frac{\left (1+i\sqrt{2} \right )(2-i\sqrt{3})}{(2+i\sqrt{3})(2-i\sqrt{3})}\) \(\large =\frac{(1+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{3})}{7}=\frac{2+\sqrt{6}}{7}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{7}i\).

Câu c

 \(\large \frac{5i}{2-3i}=\frac{5i(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}\) \(\large =\frac{5i(2+3i)}{13}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i\).

Câu d

 \(\large \frac{5-2i}{i}=\frac{(5-2i)(-i)}{i(-i)}\)= (5 - 2i)(-i) = -2 - 5i.

Tìm nghịch đảo \( \dfrac{1}{z}\) của số phức \(z\), biết

a) \(z = 1 + 2i\)

b) \(\small z = \sqrt{2 }- 3i\)

c) \(\small z = i\)

d) \(\small z = 5 + i\sqrt{3}\)

Phương pháp giải

Với số phức \(z=a+bi\ne0\) ta có số phức nghịch đảo của \(z\):

\({z^{ - 1}} = \frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{(a + bi)(a - bi)}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Vậy: \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.\)

Câu b

 \(\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i\) .

Câu c

\(\frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i\).

Câu d

 \(\frac{1}{5+i\sqrt{3}}=\frac{5-i\sqrt{3}}{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\frac{5}{28}-\frac{\sqrt{3}}{28}i\).

Thực hiện các phép tính sau

a) \(\small 2i(3 + i)(2 + 4i)\)

b) \(\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\)

c) \(\small 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\)

d) \(4 - 3i +\frac{5+4i}{3+6i}\)

Phương pháp giải

Vận dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia số phức.

Hướng dẫn giải

Câu a

2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i.

Câu b

\(\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\)\(= \frac{{2i( - 8i)}}{{ - 2 + i}} = \frac{{16( - 2 - i)}}{{( - 2 + i)( - 2 - i)}} = - \frac{{32}}{5} - \frac{{16}}{5}i\)

Câu c

 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + 29 + 11i = (3+29) + (2+11)i=32 + 13i.

Câu d

\(\begin{array}{l} 4 - 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}} = 4 - 3i + \frac{{(5 + 4i)(3 - 6i)}}{{(3 + 6i)(3 - 6i)}}\\ = 4 - 3i + \frac{{39}}{{45}} - \frac{{18}}{{45}}i = \left( {4 + \frac{{39}}{{45}}} \right) - \left( {3 + \frac{{18}}{{45}}} \right)i = \frac{{219}}{{45}} - \frac{{153}}{{45}}i. \end{array}\)

Giải các phương trình sau

a) \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\)

b) \(\small (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\)

c) \(\frac{z}{4-3i}+ (2 - 3i) = 5 - 2i\)

Phương pháp giải

Thực hiện các bước giải tương tự như với một phương trình trên tập số thực, điểm khác biệt là các phép toán thực hiện trên tập số phức.

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l} (3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\\ \Leftrightarrow (3 - 2i)z = 7 + 3i - 4 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{3 - 2i}}{{3 - 2i}} = 1. \end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l} (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\\ \Leftrightarrow (1 + 3i)z - (2 + i)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow ( - 1 + 2i)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{ - 1 + 2i}} = \frac{{(2 + 5i)( - 1 - 2i)}}{{( - 1 + 2i)( - 1 - 2i)}} = \frac{8}{5} - \frac{9}{5}i. \end{array}\)

Câu c

\(\begin{array}{l} \frac{z}{{4 - 3i}} + (2 - 3i) = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow \frac{z}{{4 - 3i}} = 5 - 2i - (2 - 3i)\\ \Leftrightarrow \frac{z}{{4 - 3i}} = 3 + i \Leftrightarrow z = (3 + i)(4 - 3i) = 15 - 5i. \end{array}\)