Toán 12 Chương 3 Bài 1: Nguyên hàm

Để giúp các em học sinh lớp 12 học hiệu quả môn Toán, đội ngũ eLib đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Nguyên hàm. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các bài tập minh hoạ về nguyên hàm và các tính chất của nó, giúp các em học tập và củng cố thật tốt kiến thức. Mời các em cùng tham khảo.

Toán 12 Chương 3 Bài 1: Nguyên hàm

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Nguyên hàm và tính chất

a) Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

b) Định lý

- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.

- Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

c) Tính chất của nguyên hàm

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

d) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

  • \(\int {kdx = kx + C,\,k \in \mathbb{R}}\)
  • \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{1 + \alpha }}.{x^{\alpha + 1}} + C\,(\alpha \ne - 1)}\)
  • \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C}\)
  • \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C}\)
  • \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C}\)
  • \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}\)
  • \(\int {\cos xdx = \sin x + C}\)
  • \(\int {\sin xdx = - \cos x + C}\)
  • \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\)
  • \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}\)

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác:

  • \(\int {{{({\rm{ax}} + b)}^k}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{{\rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}\, + C\,,(a \ne 0,\,k \ne - 1)}\)
  • \(\int {\frac{1}{{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {{\rm{ax}} + b} \right|} + C,\,a \ne 0\)
  • \(\int {{e^{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}} + b}} + C}\)
  • \(\int {c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx = \frac{1}{a}\sin ({\rm{ax}} + b)} + C\)
  • \(\int {\sin ({\rm{ax}} + b)dx = - \frac{1}{a}c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)} + C\)

1.2. Các phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số \(y = f({\rm{u)}}\) liên tục sao cho \(f[u(x)]\) xác định trên K. Khi đó nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\), tức là \(\int {f(u)du = F(u) + C}\) thì \(\int {f[u(x){\rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.\)

Hệ quả:

Với \(u = ax + b\,(a \ne 0),\) ta có:

\(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).

Chú ý: Viết gọn \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \)

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Dạng 1: Bài tập áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau

a) \(I = \int {{x^8}}dx\)

b) \(I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx\)

c) \(I=\int \frac{1}{x^5}dx\)

d) \(I=\int\frac{1}{2x}dx\)

Hướng dẫn giải:

a) \(I = \int {{x^8}dx = \frac{1}{9}{x^9} + C}\)

b) \(I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} }\)

c) \(I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ - 5}}dx = \frac{1}{{ - 5 + 1}}{x^{ - 5 + 1}} + C = } } - \frac{1}{4}{x^{ - 4}} + C\)

d) \(I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}\)

2.2. Dạng 2: Bài tập áp dụng  phương pháp biến đổi biến số

Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {\sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}\)

b) \(I = \int {{e^{{e^x} + x}}dx}\)

c) \(I = \int {{e^{2{x^2} + \ln {\rm{x}}}}dx}\)

d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)

e) \(I=\int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt: \(t = {x^{2004}} + 1 \Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx \Rightarrow {x^{2003}}dx = \frac{1}{{2004}}dt.\)

Từ đó ta được: 

\(I = \frac{1}{{2004}}\int {\sqrt t dt} = \frac{1}{{2004}}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{{2004}}.\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}} + C\)

\(= \frac{1}{{3006}}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{{3006}}\sqrt {{{\left( {{x^{2004}} + 1} \right)}^3}} + C\)

b) Ta có: \({e^{{e^x} + x}} = {e^{{e^x}}}.{e^x}\)

Đặt: \({e^x} = t \Rightarrow {e^x}dx = dt\)

Từ đó ta được:

\(I = \int {{e^t}dt} = \int {{e^t}dt} = {e^t} + C = {e^{{e^x}}} + C\)

c) Ta có: \(M = \int {{e^{2{x^2}}}.{e^{\ln x}}dx = } \int {{e^{2{x^2}}}.xdx}\)

Đặt: \(2{x^2} = t \Rightarrow 4xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{4}\)

Ta được: \(M = \int {{e^t}\frac{{dt}}{4} = \frac{1}{4}{e^t} + C = \frac{1}{4}{e^{2{x^2}}}} + C.\)

d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)

Đặt: \(\sqrt[{10}]{{x + 1}} = t \Rightarrow x + 1 = {t^{10}} \Rightarrow dx = 10{t^9}dt\)

Ta được:

\(\begin{array}{l} N = \int {\frac{{{t^{10}} - 1}}{t}.10{t^9}dt} = 10\int {\left( {{t^{10}} - 1} \right){t^8}dt} \\ = 10\int {\left( {{t^{18}} - {t^8}} \right)dt} = \frac{{10}}{{19}}{t^{19}} - \frac{{10}}{9}{t^9} + C \end{array}\)

 \(\, = \frac{{10}}{{19}}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + + 1} \right)}^{19}}}} - \frac{{10}}{9}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + 1} \right)}^9}}} + C\)

e) Ta có:\(I = \int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{2\sin x\cos x.{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} } dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}.\sin 2xdx}\)

Đặt: \(1 + {\cos ^2}x = t \Rightarrow \sin 2xdx = - dt\)

\(\Rightarrow S = - \frac{1}{2}\int {\frac{{t - 1}}{t}dt} = - \frac{1}{2}\int {dt + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} = - \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C}\)

2.3. Dạng 3: Bài tập áp dụng nguyên hàm từng phần

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {x{\rm{sin2}}xdx}\)

b) \(I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx}\)

c) \(I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}\)

d) \(I = \int {x{{\cos }^2}2xdx}\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - {I_1}\)

Tính \({I_1} = \int {x{e^{2x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C\)

c) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \left( {4x + 1} \right)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Tính: \({I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 4x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

 \(\Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4{e^x} + C = \left( {4x - 3} \right){e^x} + C\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \left( {4x - 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right){e^x} + C\)

d) \(\begin{array}{l} I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1} \end{array}\)

Tính \({I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{2}x\\ dv = \cos 4xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{2}dx\\ v = \frac{1}{4}\sin 4x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x - \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) \(\small f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\)

b) \(f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\)

c) \(f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\)

d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)

e) \(f(x) = tan^2x\)

Câu 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {\left( {x - 9} \right)^4}\)

b) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\)

c) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

d) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)

Câu 3: Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a) \(\small \int (1-x)^9dx\) (đặt u =1-x)

b) \(\small \int x(1+x^2)^\frac{3}{2} dx\)​ (đặt u = 1 +  x2)

c) \(\small \int cos^3x.sinxdx\) (đặt t = cosx)

d) \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt u= ex +1)

Câu 4: Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \(\mathop \smallint \nolimits {x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}dx\) với x > - 1 (đặt \(t = 1 + {x^3}\)   

b) \(\mathop \smallint \nolimits x{e^{ - {x^2}}}dx\)   (đặt \(t = {x^2}\))

c) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx\) (đặt \(t = 1 + {x^2}\));

d) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt x }}dx\) (đặt \(t = \sqrt x \));

e) \(\int {\sin } \frac{1}{x}.\frac{1}{{{x^2}}}dx\) (đặt \(t = \frac{1}{x}\))

Câu 5: Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(\smallint (1 - 2x)exdx\)

b) \(\smallint xe - xdx\)     

c) \(\smallint x\ln (1 - x)dx\)

d) \(\smallint x\sin 2xdx\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm hàm số \(f(x)\) biết rằng \(f'(x) = 2x + 1\) và \(f(1)=5.\)

A. \(f(x) = {x^2} + x + 3\)

B. \(f(x) = {x^2} + x - 3\)

C. \(f(x) = {x^2} + x\)

D. \(f(x) = {x^2} -x\)

Câu 2: Cho F(x) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^{3x}}\) thỏa mãn F(0) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(F(x) = {e^{3x}}\)  

B.  \(F(x) = - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{4}{3}\)

C.  \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}\) 

D. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}\)

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}.\)

A. \(\int {f(x)dx} = \ln x - \ln {x^2} + C\)

B. \(\int {f(x)dx} = \ln x - \frac{1}{x} + C\)

C. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\)

D. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\)

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\).

A.  \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

B.  \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

C.  \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\sin x} \right| + C\) 

D.  \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C\)

Câu 5: Tìm hàm số \(y=f(x)\) biết rằng \(f'(x) = ({x^2} - x)(x + 1)\) và \(f(0)=3.\) 

A. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3\)

B. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3\)

C.  \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 3\)

D.  \(y = 3{x^2} - 1\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Nguyên hàm Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số ý chính như sau:

  • Định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.
  • Phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản cũng như là sự tồn tại của các nguyên hàm
  • Biết vận dụng bảng các nguyên hàm vào tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
  • Biết cách áp dụng các phương pháp tìm nguyên hàm vào tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho.
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:Xuân Quỳnh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM