Toán 12 Chương 4 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài học Phương trình bậc hai với hệ số thực dưới đây đã được eLib tóm tắt lại hệ thống kiến thức và hướng dẫn giải các bài tập một cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

Toán 12 Chương 4 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)

Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\)

  • Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
  • Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
  • Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

1.2. Nhận xét về nghiệm phương trình bậc hai trên tập số phức

Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\)đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). 

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:

\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

 Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)

Với  \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)

Với  \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)

2.2. Bài tập 2

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

c) \(z^3-27=0\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

Ta có: \({\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(z=-1+2i;z=-1-2i.\)

b) \({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2\\ {z^2} - 2z + 4 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*): 

Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)

c) \({z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*):

Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \( - 3{z^2} +2z - 1 = 0\)

b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\)

c) \(5{z^2} -7z+ 11=  0\) 

Câu 2: Biết \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}+\sqrt{3}x+3=0\). Hãy tính :

\(\begin{align} & a)\,z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \\ & b)z_{1}^{3}+z_{2}^{3} \\ & c)z_{1}^{4}+z_{2}^{4} \\ & d)\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \\ \end{align} \)

Câu 3: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \({z^4} + {z^2}-6= 0\)

b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0\)

Câu 4: Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\). 

Câu 5: Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z \) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Câu 6: Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\).

A.  \(-\frac{9}{4}\)

B.  \(\frac{8}{3}\)

C.  \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D.   \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)

Câu 2: Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0.\)Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = i{z_0}?\)

A.  \({M}\left( {\frac{1}{2};2} \right).\)

B. \({M}\left( {-\frac{1}{2};2} \right).\)

C.  \({M}\left( {-\frac{1}{4};1} \right).\)

D. \({M}\left( {\frac{1}{4};1} \right).\)

Câu 3: Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt  \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w.

A. \({\rm{w}} = {2^{51}}\) 

B.  \({\rm{w}} = {2^{50}}i\)

C.  \({\rm{w}} =- {2^{51}}\) 

D.  \({\rm{w}} = -{2^{50}}i\)

Câu 4: Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)

A.  \(S=0\)

B.  \(S=i\)

C.  \(S=2i\sqrt3\)

D.  \(S=1\)

Câu 5: Trong các khẳng  định sau , khẳng định nào không đúng :

A. Tập hợp số thực là tập con của số phức 

B. Nếu tổng của 2 số phức là số thực thì cả 2 số ấy đều là số thực 

C. Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O 

D. Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau trục Ox.

Câu 6: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) và  \(z^2\) là số thuần ảo 

A. \(\left\{ \begin{array}{l} a = \pm 1\\ b = \pm 1 \end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l} a =- 1\\ b = -1 \end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b =- 1 \end{array} \right.\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm được căn bậc hai của một số thực âm; cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ
  • Biết tìm được căn bậc 2 của một số thực âm và giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:Phuong

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM