Toán 12 Chương 2 Bài 3: Lôgarit

Mời các em học sinh lớp 12 tham khảo nội dung bài Lôgarit gồm các kiến thức về khái niệm, qui tắc tinh logarit, công thức đổi cơ số, logarit thập phân và logarit tự nhiên,...đã được eLib biên soạn đầy đủ và chi tiết.

Toán 12 Chương 2 Bài 3: Lôgarit

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khái niệm lôgarit

Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).

Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)

Ví dụ

\(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)

\(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)

\(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)

\(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)

\(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)

1.2. Các tính chất của lôgarit

a) Qui tắc tính lôgarit

Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

- Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)

- Lôgarit của một tích:

  • Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)
  • Mở rộng với \(x_1,x_2,..., x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2....x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+...+\log_ax_n\)

- Lôgarit của một thương

  • Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)
  • Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)

- Lôgarit của một lũy thừa:

  • Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)
  • \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)

b) Công thức đổi cơ số:

Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

- Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)

Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

- Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)

- Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số

  • Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)
  • Nếu \(0\log_ay \Leftrightarrow 0\)
  • Nếu \(00\)

1.3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

a) Lôgarit thập phân

Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).

b) Lôgarit tự nhiên

Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Bài tập 1

Tìm x để:

\(\eqalign{
& a)\,{2^x} = 8 \cr } \)

\(\eqalign{& b)\,{2^x} = {1 \over 4} \cr } \)

\(\eqalign{& c)\,{3^x} = 81 \cr } \)

\(\eqalign{& d)\,{5^x} = {1 \over {125}} \cr} \)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& \,{2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3 \cr } \)

b) \(\eqalign{& \,{2^x} = {1 \over 4} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2 \cr } \)

c) \(\eqalign{& \,{3^x} = 81 \Leftrightarrow {3^x} = {3^4} \Leftrightarrow x = 4 \cr } \)

d) \(\eqalign{& \,{5^x} = {1 \over {125}} \Leftrightarrow {5^x} = {5^{ - 3}} \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \)

2.2. Bài tập 2

a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)

b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)

Hướng dẫn giải

a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)

b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1\)

Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}\)

2.3. Bài tập 3

Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)

b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)

b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}\)

2.4. Bài tập 4

Không dùng máy tính, hãy so sánh:

a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)

b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)

c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tính

\(a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\)

\(b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}\)

\(c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\)

Câu 2: Tính:

a) \({{4}^{{{\log }_{2}}3}}\)

b) \({{27}^{{{\log }_{9}}2}}\)

c) \({{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}}\)

d) \({{4}^{{{\log }_{8}}27}}\)

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

a) \({{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2;\)

b) \({{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}\).

Câu 4: Tìm x, biết:

\(a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b\)

\(b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b\)

Câu 5: So sánh các cặp số sau:

a) \({{\log }_{3}}5\,\text{và}\,{{\log }_{7}}4;\)   

b) \({{\log }_{0,3}}2\,\text{và}\,{{\log }_{5}}3;\)

c) \({{\log }_{2}}10\,\text{và}\,{{\log }_{5}}30\).

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}a\sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với \(0 < a \ne 1.\)

A. \(P = \frac{3}{{10}}\)

B. \(P = 4\)​

C. \(P = \frac{1}{2}\)​

D. \(P = \frac{1}{4}\)​

Câu 2: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \(4^{\log_2 3}<4^{\log_32}\)

B. \(\log_24=\log_4 2\)

C. \(\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3\)

D. \(\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6\)

Câu 3 Rút gọn biểu thức 

\(A = {\log _a}\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.a.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}}\) với \(a > 0;\,\,a \ne 1\).

A. \(A = \frac{{62}}{5}\)

B. \(A = \frac{{16}}{5}\)

C. \(A = \frac{{22}}{5}\)

D. \(A = \frac{{67}}{5}\)

Câu 4: Đặt  \(a = {\log _2}3,b = {\log _5}3\). Hãy biểu diễn \({\log _6}45\)  theo a và b.

A. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)

B. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)

C. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)

D. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{2ab + b}}\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Lôgarit Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, giúp các em biết được một số nội dung như sau:

  • Biết khái niệm các tính chất của lôgarit
  • Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản
  • Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:Denni Trần

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM