Toán 12 Chương 2 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

eLib xin giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 nội dung bài Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit. Bài giảng được biên soạn đầy đủ và chi tiết, đồng thời được trình bày một cách logic, khoa học sẽ giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức một cách dễ dàng.

Toán 12 Chương 2 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Bất phương trình mũ

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

- Nếu \(a>1\)

  • \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
  • ​\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)

- Nếu \(0 < a < 1\): \({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)

b) Phương pháp lôgarit hóa

Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{  }}(1)\)

\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)

\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

\(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)​: Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

\(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)

 \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)

Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:

​\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

Dạng 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

Đưa về bất phương trình tích.

Xem ẩn ban đầu như là tham số.

Dạng 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:

Đưa về bất phương trình tích.

Xem 1 ẩn là tham số.

d) Phương pháp hàm số

Xét hàm số \(y=a^x\):

Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Nếu \(0 < a < 1:y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.

Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:

\(f(x)\)đồng biến trên D.

\(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

1.2. Bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
Với \(0 < a < 1:{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) < g(x)\\
f(x) > 0
\end{array} \right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0 < x \ne 1\)

​\(a>1, \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)

​\(0 < a < 1,(1) \Leftrightarrow 0 < f(x) < {a^b}\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ

Dạng 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

Dạng 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.

Xem ẩn ban đầu là tham số

Bất phương trình tích

Dạng 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)

\(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).

​\(0 < a < 1,y = {\log _a}x\) nghịch biến trên  \((0;+\infty )\).

Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)

- Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.

- Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.

- Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:

  • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
  • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Dạng bài tập bất phương trình mũ

Câu 1: Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\).

Hướng dẫn giải

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\)

Câu 2: Giải bất phương trình  \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)

Hướng dẫn giải

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)

Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)  

\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\) 

Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;2} \right).\)

Câu 3: Giải bất phương trình  \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\)

Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;2} \right]\)

2.2. Dạng bài tập bất phương trình lôgarit

Câu 1: Giải bất phương trình  \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\) 

Hướng dẫn giải

ĐK: \(x>1\)

Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) 

Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) 

\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)   

Mặt khác \(f(2) = 3\) 

Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)

Câu 2: Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)

Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)

Câu 3: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\)

Hướng dẫn giải

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Giải các bất phương trình mũ:

a) \(\small 2^{-x^{2}+3x}<4\)

b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}\geq \frac{9}{7}\)

c) \(3^{x+2} + 3^{x-1} \leq 28\)

d) \(4^x - 3.2^x + 2 > 0\)

Câu 2: Giải các bất phương trình mũ sau :

a) \({3^{|x - 2|}} < 9\)

b) \({4^{|x + 1|}} > 16\)

c) \({2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\)

d) \({\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\)

e) \({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)

Câu 3: Giải các bất phương trình lôgarit:

a) \(\small log_8(4- 2x) \geq 2\)

b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)>log_{\frac{1}{5}}(x +1)\)

c) \(log_{{0,2}}x - log_5(x- 2) < log_{0,2}3\)

d) \(log_{3}^{2}x- 5log_3x + 6 \leq 0\)

Câu 4: Giải các bất phương trình logarit sau :

a) \({\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)

b) \({\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1\)

c) \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\)

d) \({\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)

e) \(\frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)

Câu 5: Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị

a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)

b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} \ge x + 1\)

c) \({\log _{\frac{1}{3}}}x > 3x\)

d) \({\log _2}x \le 6 - x\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({2^{{x^2} - x + 1}} > {4^{x + 1}}.\)

A. \(S = \left( {\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right)\)

B. \(S = \left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}; + \infty } \right)\)

C. \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

D. \(S = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

Câu 2: Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0\).

A. \(2\leq x\leq 4\)

B. \(x\leq 4\)

C. \(x\geq 2\)

D. \(x \le 2\) hoặc \(x \geq 4\)

Câu 3: Giải bất phương trình \({9^x} - {\log _2}8 < {2.3^x}.\)

A. x>0

B. x<0

C. x>1

D. x<1

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _3}\left( {4x - 3} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \le 2.\)

A. \(S = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\)

B. \(S = \left[ {\frac{3}{4};3} \right]\)

C. \(S =\left( {\frac{3}{4};3} \right]\)

D. \(S = \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\)

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2} \)

\(> \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\) 

A.  \(S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)\)

B.  \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)

C.  \(S = (3;9)\)

D.  \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp học sinh biết được một số nội dung chính như sau

  • Nắm được cách giải các bpt mũ, bpt logarit dạng cơ bản, đơn giản.Qua đógiải được các bpt mũ, bpt logarit cơ bản , đơn giản
  • Vận dụng thành thạo tính đơn điệu của hàm số mũ ,logarit dể giải các bptmũ, bpt loga rit cơ bản, đơn giản
  • Kỹ năng lôgic , biết tư duy mở rộng bài toán.
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:Denni Trần

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM