Toán 12 Ôn tập chương 4: Số phức

Mời các em học sinh lớp 12 cùng tham khảo lý thuyết bài Ôn tập Số phức đã được eLib biên soạn dưới đây, cùng với phần tổng hợp kiến thức cơ bản cần nắm, đây sẽ tài liệu hữu ích cho các em học tốt và ôn luyện môn Toán.

Toán 12 Ôn tập chương 4: Số phức

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Các khái niệm về số phức

  • Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb{R}\) và \(i^2=-1\)).
  • Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
  • Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

1.2. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

  • \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
  • \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
  • \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

1.3. Phép chia hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).

1.4. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)

Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\)

  • Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
  • Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
  • Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i.\) Tìm môđun của số phức \(w=z+2\bar{z}.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}=a-bi\)

Ta có \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i\)

\(\Leftrightarrow (1+2i)(a+bi)+(3+2i)(a-bi)(a-bi)=4+10i\)

\(\Leftrightarrow 4a+(4a-2b)i=4+10i\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=4\\ 4a-2b=10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)

Do đó \(z= 1- 3i.\)

Ta có: \(w=z+2\bar{z}=1-3i+2(1+3i)=3+3i.\)

Suy ra môđun của w là \(\left | w \right |=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.\)

2.2. Bài tập 2

Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left |z_1 \right |=\left |z_2 \right |=1,\left |z_1 +z_2 \right | =\sqrt{3}\). Tính \(\left |z_1 -z_2 \right |.\)

Hướng dẫn giải

Đặt: \(z_1=a_1+b_1i;z_2=a_2+b_2i \ (a_1,a_2,b_1,b_2 \in R)\)

\(\left\{\begin{matrix} \left | z_1 \right | =\left | z_2 \right |=1\\ \left | z_1 +z_2\right |=\sqrt{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2_1+b^2_1=a^2_2+b^2_2=1\\ (a_1+b_2)^2+(b_1+b_2)^2=2 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2)=1\Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1\)

Vậy \(\left | z_1-z_2 \right |=1.\)

2.3. Bài tập 3

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện \(z+(2+i)\bar{z}=3+5i.\)

Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=a+bi(a,b\in R)\)

Ta có 

\(z+(1+i)\bar{z}=3+5i\Leftrightarrow a+bi+(2+i)(a-bi)=3+5i\)

\(\Leftrightarrow 3a+b+(a-b)i=3+5i\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+b=3\\ a-b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)

Vậy z=2-3i.

Do đó phần thực của z là 2 và phần ảo của z là –3.

2.4. Bài tập 4

Tìm số phức z sao cho (1 +2i)z là số thuần ảo và \(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\sqrt{13}\).

Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=a+bi \ (a,b\in R)\).

Khi đó \((1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=(a-2b)+(2a+b)i.\)

(1 +2i)z là số thuần ảo khi và chỉ khi: \(a-2b=0\Leftrightarrow a=2b\)

\(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\left | a+3bi \right |=\left | 2b+3bi \right | =\sqrt{13b^2}=\sqrt{13}\Leftrightarrow b=\pm 1.\)

Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài: \(z=2+i;z=-2-i.\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm các số thực \(x, y\) sao cho:

a) \(3x + yi = 2y + 1 + (2-x)i\)

b) \(2x + y – 1 = (x – 2y – 5)i\)

Câu 2: Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i)                       

b) \({{2 + i\sqrt 2 } \over {1 - i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 - i\sqrt 2 }}\)

c) \({{(1 + i)(2 + i)} \over {2 - i}} + {{(1 + i)(2 - i)} \over {2 + i}}\)

Câu 3: Thực hiện các phép tính:

a) \({(2 + 3i)^2} - {(2 - 3i)^2}\)                                         

b) \({{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 - i)}^3}}}\)

Câu 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = –7 + 3i                 

b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)]

Câu 5: Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]\)

b) \(\displaystyle (4 - 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}}\)

c) \((1 + i)^2 – (1 – i)^2\)

d) \(\displaystyle{{3 + i} \over {2 + i}} - {{4 - 3i} \over {2 - i}}\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) trên tập số phức. Tính \(P = {z_1}^4 + {z_2}^4.\) 

A. P=-14

B. P=14

C. P=-14i

D. P=14i

Câu 2: Tính tổng S của các số phức z thỏa \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\) biết \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\) 

A. S=2

B. S=2i

C. S=i

D. S=0

Câu 3: Phần thực và phần ảo của số phức \(z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2}\) là

A. 1 và 3

B. 1 và -3 

C. -2 và \(2\sqrt 3 \)

D. 2 và \(-2\sqrt 3 \)

Câu 4: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện \(z + \left( {2 - i} \right)\overline z  = 13 - 3i\) là

A. 3

B. 5

C. 17

D. \(\sqrt {17} \)

Câu 5: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - \(\overline z \))(1 + i) - 5z = 8i - 1 là

A. 1

B. 5

C. \(\sqrt {13} \)

D. 13

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Ôn tập chương 4: Số phức Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số ý chính như sau:

  • Nắm được định nghĩa số phức, phần thực, phần ảo, môđun của số phức. Số phức liên hợp.
  • Nắm vững được các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia số phức – Tính chất của phép cộng, nhân số phức.
  • Nắm vững cách khai căn bậc hai của số thực âm. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:Tuyết Trịnh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM