Toán 12 Chương 4 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Việc học các kỹ năng giải Toán ở lớp 12 rất là quan trọng. Vậy giải Toán như thế nào để phù hợp với tất cả các học sinh, các em có thể tự đọc các kiến thức và tự làm các ví dụ minh họa để nâng cao các kỹ năng giải Toán lớp 12 của mình thêm hiệu quả. Sau đây là các kiến thức cần nhớ và bài tập minh họa bài Cộng, trừ và nhân số phức.

Toán 12 Chương 4 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

  • \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
  • \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
  • \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

1.2. Nhận xét 

- Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)

- Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):

  • \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        
  •  =  + '     
  • \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
  • \(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)     
  • \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)              

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Tìm số phức \(z\) biết \((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)

Hướng dẫn giải

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

2.2. Bài tập 2

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

2.3. Bài tập 3

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Hướng dẫn giải

\(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)

\({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)

\(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

2.4. Bài tập 4

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3 - 5i) + (2 + 4i)\)

b) \((-2 - 3i) + (-1 - 7i)\)

c) \((4 + 3i) - (5 - 7i)\)

d) \((2 - 3i) - ( 5 - 4i)\)

Câu 2: Tính \(α + β, α - β\), biết

a) \(α = 3, β = 2i\)

b) \(α = 1- 2i, β = 6i\)

c) \(α = 5i, β = -7i\)

d) \(α = 15, β = 4- 2i\)

Câu 3: Thực hiện các phép tính sau

a) \((3 - 2i)(2 - 3i)\)

b) \((-1 + i)(3 + 7i)\)

c) \(5(4 + 3i)\)

d) \((-2 - 5i).4i\)

Câu 4: Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\)

Nêu cách tính \(i^n\) với \(n\) là một số tự nhiên tuỳ ý.

Câu 5: Tính

a) \((2 + 3i)^2\)

b) \((2 + 3i)^3\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

Câu 2: Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\).

A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)

B. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)

C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)

D. \(z = - \frac{1}{2}i\)

Câu 3: Số phức z = 6+7i. Số phức liên hợp của z  có điểm biểu diễn là:

A. (6;7)

B. (6;-7)

C. (-6;7)

D. (-6;-7)

Câu 4: Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.

A. m=1

B. m=2

C. m=-2

D.  \(m = \pm 1\)

Câu 5: Số phức z = 2-3i có điểm biểu diễn là

A. (2;3)

B. (-2;-3)

C. (2;-3)

D. (-2;3)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Cộng, trừ và nhân số phức Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm được các công thức và quy tắc cộng trừ và nhân số phức.
  • Biết vận dụng các công thức vào giải bài tập về số phức.
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:Hoang Oanh Nguyen

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM