Toán 12 Chương 4 Bài 1: Số phức

Bài học Số phức dưới đây được eLib biên soạn kiến thức cụ thể và chi tiết, cùng các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, qua đó giúp các em nắm được kiến thức từ khái quát đến chi tiết để học tốt phần kiến thức này. Sau đây mời các em cùng tham khảo.

Toán 12 Chương 4 Bài 1: Số phức

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Các khái niệm về số phức

- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a, b \in \mathbb R\) và \(i^2 =-1\))

- Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di ⇔ a = c\) và \(b = d\)

- Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm \(M(a;b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

- Độ dài của \(\overrightarrow {OM} \) là môđun của số phức z, kí hiệu là \(|z| = \overrightarrow {OM}  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

- Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) và \( \overline z= a - bi\).

1.2. Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.\)

Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb{R}\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).

Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.

Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb{R})\) gọi là dạng đại số của số phức.

Ta có:

​\(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\).

\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.

\(z = - \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Bài tập 1

Tìm số phức z biết:

a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).

b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)

c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.

Hướng dẫn giải

Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)

a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)

Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.

b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)

Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.

c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)

vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)

2.2. Bài tập 2

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\)

b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3\)

c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1; 2)\)

d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1; 3]\)

Hướng dẫn giải

a) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Phần thực của \(z\) bằng \(-2\), tức là \(x = -2, \, y \in R\).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(x = -2\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) 

b) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Phần ảo của số phức \(z\) bằng \(3\) nên \(x \in R\) và \(y = 3.\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(y = 3\) trên mặt phẳng \(Oxy\).

c) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Ta có \(x \in (-1;2)\) và \(y \in \mathbb R\).

Vậy tập hợp số phức \(z\) cần tìm là các điểm nằm giữa hai đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 2\) trên mặt phẳng \(Oxy\) 

d) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Ta có \(x \in \mathbb R\) và \(y \in [1;3]\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng \(y = 1\) và \(y = 3\) (kể cả các điểm trên hai đường đó). 

2.3. Bài tập 3

Tìm số thực x, y thỏa mãn:

a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)

b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)

Hướng dẫn giải

a) \(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1\\ 5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)

b) Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)  khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\), biết:

a) \(z = 1 - πi\)

b) \(z = \sqrt 2 - i\)

c) \(z = 2\sqrt 2\)

d) \(z = -7i\)

Câu 2: Tìm các số thực \(x, y\) thỏa màn:

a) \(2x + 1 + (1 – 2y)i\) \( = 2 – x + (3y – 2)i\)

b) \(4x + 3 + (3y – 2)i \) \( = y  +1 + (x – 3)i\)

c) \(x + 2y + (2x – y)i \) \( = 2x + y + (x  + 2y)i\)

Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện

a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\)

b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3\)

c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1; 2)\)

d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1; 3]\)

Câu 4: Cho hai số phức \(\alpha  = a + bi,\beta  = c + di\). Hãy tìm điều kiện của \(a, b, c , d\) để các điểm biểu diễn \(\alpha \) và \(\beta \) trên mặt phẳng tọa độ:

a) Đối xứng với nhau qua trục \(Ox\);

b) Đối xứng với nhau qua trục \(Oy\);

c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba;

d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực của \(z\) bằng phần ảo của nó ;

b) Phần thực của \(z\) là số đối của phần ảo của nó ;

c) Phần ảo của \(z \) bằng hai lần phần thực của nó cộng với \(1\);

d) Modun của \(z\) bằng \(1\), phần thực của \(z\) không âm.

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.

A. \(M\left( {5; - 3} \right)\)

B.  \(N\left( { - 3;5} \right)\)

C.  \(P\left( { - 5;3} \right)\)

D.  \(Q\left( {3; - 5} \right)\)

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).

A. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\)

B. Đường thẳng y=2

C. Đường thẳng x=2

D. Hai đường thẳng x=2 và y=2

Câu 3: Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Đối với số phức z, a là phần thực.

B. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng phức được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\).

C. Đối với số phức z, bi là phần ảo.

D. Số  i được gọi là đơn vị ảo.

Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mênh đề sau:

A. Số phức  z=a+bi đuợc biểu diễn bằng đỉểm M(a;b) trong mặt phẳng phức Oxy

B. Số phức z=a+bi có môđun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

C. Số phức z=a+bi=0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 0 \end{array} \right.\) 

D. Số phức z=-a+bi có số phức liên hợp là z=-a+bi 

Câu 5: Cho số phức z=a+bi . Số phức \(z^2\) có phần ảo là : 

A. ab

B. \(2a^2b^2\)

C. \(a^2b^2\)

D. 2ab

Câu 6: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai

A. Phần thực của z là 2.

B. Phần ảo của z là -2.

C. Số phức liên hợp của z là \(\overline z  =  - 2 + 2i\)

D. \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Số phức Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. kết luận

Qua bài học này giúp các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Hiểu được số phức , phần thực phần ảo của nó; hiểu được ý nghĩa hình học của khái niệm môđun, số phức liên hợp, hai số phức bằng nhau.
  • Biết biểu diễn số phức trên mặt phẳng toạ độ
  • Xác định được môđun của số phức , phân biệt được phần thực và phần ảo của số phức.
  • Biết cách xác định được điều kiện để hai số phức bằng nhau.
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:Denni Trần

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM