Toán 12 Chương 1 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

Toán 12 Chương 1 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên miền \(D\).

  • Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(D\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.\) Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)
  • Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(D\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = m\end{array} \right.\) Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)

(Cần chú ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu của hàm số, dưới đây là hình vẽ minh họa GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$ để các em phân biệt.)

1.2. Một số dạng toán thường gặp

a) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Phương pháp

- Bước 1: Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\) thỏa mãn \(a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)

- Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\)

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:

  • Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN \(M\) của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\)
  • Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN \(m\) của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\)

b) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác đinh và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\)

Phương pháp

- Bước 1: Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\) thỏa mãn \(a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)

- Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right)\) và \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right);B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)\)

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.

  • Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là \(A\) hoặc \(B\) thì kết luận hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
  • Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là \(f\left( {{x_i}} \right),i \in \left\{ {1;2;...;n} \right\}\) thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) bằng \(f\left( {{x_i}} \right)\) khi \(x = {x_i}\)

c) Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác đinh và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của \(y'\))

  • Bước 1: Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},...{x_n}\)
  • Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\)
  • Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
  • Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm \(m\)

2. Bài tập minh hoạ

2.1. Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số: \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).

Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).

  • \({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
  • \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
  • Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)

2.2. Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số: \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)

  • Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), hàm số không có giá trị lớn nhất.

2.3. Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}\) với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 3] bằng -2.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}R\backslash \left\{ { - 8} \right\}\)

Ta có: \(y' = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{(x + 8)}^2}}} > 0\;\;\forall x\; \ne \; - 8\)

Khi đó: \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(0) =  - \frac{{{m^2}}}{8} =  - 2 \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow m =  \pm 4\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) f(x) = -3x2 + 4x – 8 trên đoạn [0; 1]

b) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên đoạn [-4; 3]

c) \(f(x) = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn [-4; 4]

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(y=\dfrac{x}{4+x^2}\) trên khoảng \((-\infty;+\infty)\)

b) \(y=\dfrac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left( \dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right)\)

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\dfrac{9}{x}\) trên đoạn [2;4]

Câu 4: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-3x^2-m=0\) có ba nghiệm phân biệt

Câu 5: Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-x^2+4x-5\) trên đoạn [0;3] bằng

A. - 1 

B. 1

C. 2 

D. 0

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3+3x^2-9x-7\) trên đoạn [-4;3] bằng: 

A. - 5

B. 0

C. 7

D. - 12

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8].

A. m=-2

B. m=1

C. m=-3

D. m=-5

Câu 4: Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\).

A. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 21\)

B. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 14\)

C. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 11\)

D. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 70\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em:

  • Hiểu được GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn của một số hàm thường gặp.
  • Nắm được các phương pháp tìm GTLN và GTNN của một số hàm số có đạo hàm trên một khoảng, một đoạn.
Ngày:02/07/2020 Chia sẻ bởi:Chương

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM