Toán 12 Chương 2 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

a) Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng \({a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

+) Với \(b > 0\) ta có \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).

+) Với \(b \le 0\) phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({5^x} = 125\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)

Với \(a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)

Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)

Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)

Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)

Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)

Ta có: \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).

Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)

Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:

\(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)

Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).

Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 

Xem ẩn đầu là tham số

Đưa về phương trình tích

Đưa về hệ phương trình

Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó

Đưa về phương trình tích

Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

Xét hàm số \(y=a^x\):

Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Nếu \(0

Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.

Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:

\(f(x)\)đồng biến trên D.

\(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

a) Phương trình logarit cơ bản

Phương trình có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

Ta có: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {a^b}\).

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x =  - 2\).

Ta có: \({\log _5}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{25}}\).

b) Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\)

c) Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \(\frac{1}{{\ln x}} + \frac{1}{{\ln x - 1}} = \frac{5}{6}\).

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{t} + \frac{1}{{t - 1}} = \frac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \frac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\).

d) Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\)

ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)

Câu 1: Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)

b)  \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)

(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)

Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)

Khi đó phương trình tương đướng với:

\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Câu 2: Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\)

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)  

Hướng dẫn giải

a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).

Câu 3: Giải phương trình  \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Hướng dẫn giải

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)

\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\).

Câu 1: Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Câu 2: Giải phương trình  \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)

Hướng dẫn giải

 \(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)

Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:

\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).

Câu 3: Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:

\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)

Câu 1: Giải các phương trình mũ

a) \({{\left( 0,3 \right)}^{3x-2}}=1;\) 

b) \({{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{x}}=25;\)

c) \({{2}^{{{x}^{2}}-3x+2}}=4;\)

d) \({{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}=2. \) 

Câu 2: Giải các phương trình mũ sau:

a) \((0,75)^{2x-3}=\left(1\dfrac 1 3 \right)^{5-x}\)

b) \({{5}^{{{x}^{2}}-5x-6}}=1 \)

c) \({{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x+1}} \)

d) \({{32}^{\frac{x+5}{x-7}}}=0,{{25.125}^{\frac{x+17}{x-3}}} \)

Câu 3: Giải các phương trình lôgarit:

a) \({{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right);\)

b) \(\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2;\)

c) \({{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3;\)

d) \(\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right).\)

Câu 4: Giải các phương trình lôgarit:

a) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \dfrac{1}{5x};\)

b) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x;\)

c) \({{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13. \)

Câu 1: Cho phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \({x_1} + {x_2} = - 2\)

B. \({x_1} . {x_2} = - 1\)

C. \(2{x_1} + {x_2} = 0\)

D. \({x_1} +2 {x_2} = - 1\)

Câu 2: Tìm giá trị của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}\) có hai nghiệm phân biệt.

A. \(m < \frac{1}{3}\)

B.  \(m > \sqrt{10}\)

C.   \(3 < m < \sqrt{10}\)

D.  \(1 \leq m < 3\)

Câu 3: Phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Câu 4: Tìm m để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A.  \(m=\pm1\)

B.  \(m=\pm3\)

C.  \(m=\pm 2\)

D. Không tồn tại m

Câu 5: Phương trình \({2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Qua bài học này giúp các em biết được một số nội dung sau:

• Biết ác dạng phương trình mũ và phương trình logarit co bản, phương pháp giải một số phương trình mũ và phương trình logarit đơn giản.
• Biết vận dụng các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit vào giải các phương trình mũ và logarit cơ bản.
• Biết cách vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp vẽ đồ thị và các phương pháp khác vào giải phương trình mũ, phương trình logarrit đơn giản.